4. Параллельные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые a и b параллельны, записывают a ∥ b. Условие об одной плоскости обязательно: оно отличает параллельность от простого отсутствия общих точек.

Компланарные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости. Иначе говоря, можно указать плоскость, которой принадлежат обе прямые. На плоскости любые две прямые компланарны, а в пространстве это не всегда так, поэтому компланарность приходится проверять.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Они не имеют общих точек, но параллельными не являются. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное положение прямых, которым нельзя провести общую плоскость.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения прямых. Определение позволяет отличить пересечение от параллельности и скрещивания, при которых общих точек нет.

Как это устроено

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны, потому что они обе уже лежат в одной плоскости. В пространстве этого условия нет: прямые могут быть расположены в разных плоскостях и не встретиться. Поэтому, прежде чем называть непересекающиеся прямые параллельными, нужно установить, что они компланарны.

Взаимное положение двух прямых различают по двум вопросам: есть ли у них общая точка и лежат ли они в одной плоскости. Если есть ровно одна общая точка, прямые пересекаются и вместе задают плоскость. Если общих точек нет, но общая плоскость есть, прямые параллельны; если общей плоскости нет, они скрещиваются. Такое рассуждение охватывает все три возможных случая.

Чтобы доказать, что прямые скрещиваются, мало показать, что они не пересекаются: это верно также для параллельных прямых. Нужно дополнительно исключить общую плоскость. Например, если одна прямая принадлежит грани многогранника, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то общей плоскости для этих прямых быть не может. Обоснование опирается на геометрию фигуры, а не только на рисунок.

Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Параллельные одной прямой направления совпадают, и две рассматриваемые прямые можно расположить в одной плоскости: плоскость задаётся их общей направленностью и положением. В этой плоскости прямые не пересекаются, поэтому по определению они параллельны. Это свойство позволяет доказывать параллельность без отдельного поиска плоскости для каждой пары.

В задаче сначала определяют взаимное положение прямых: проверяют пересечение, затем выясняют, есть ли общая плоскость. После этого вывод оформляют ссылкой на подходящее определение или теорему. Такой порядок не даёт подменить доказательство впечатлением от чертежа и помогает заметить, когда данных недостаточно.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала найдите строку по наличию или отсутствию общих точек, затем проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости. Если общих точек нет, именно второй столбец с ответом о плоскости помогает различить параллельные и скрещивающиеся прямые. Таблица показывает, почему одного признака «не пересекаются» недостаточно.

Разбор задач

Задача 1. Даны две прямые в одной плоскости, не имеющие общих точек. Определить их взаимное положение и записать обозначение. Из условия уже известна компланарность, поэтому остаётся применить определение и обозначить прямые буквами a и b.

1. Проверяем условие о плоскости: обе прямые лежат в одной плоскости.
2. У них нет общих точек, следовательно, они не пересекаются.
3. По определению такие прямые параллельны; записываем a ∥ b.

Ответ: прямые параллельны, a ∥ b. Условие об общей плоскости здесь существенно: без него тот же вывод был бы не обоснован.

Задача 2. Прямые a и b параллельны, а прямые b и c параллельны. Обосновать взаимное положение a и c. Предполагаем, что a и c — различные прямые, поскольку совпадающие прямые не называют параллельными.

1. По условию a ∥ b и b ∥ c, значит, обе прямые имеют направление, параллельное b.
2. Две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, компланарны и не пересекаются.
3. По определению a и c параллельны, то есть a ∥ c.

Ответ: a ∥ c. Если a и c совпадают, они имеют одинаковое положение, но запись о параллельности для них не применяют.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить взаимное положение AB и CC₁, а затем AB и A₁B₁. Для каждой пары отдельно проверим пересечение и наличие общей плоскости: ребро куба на рисунке может выглядеть иначе, чем устроено в пространстве.

1. AB и CC₁ не пересекаются: они не имеют общей вершины, а рёбра куба не пересекаются внутри.
2. AB лежит в плоскости основания ABCD. Прямая CC₁ пересекает эту плоскость в C, а C не принадлежит AB, поэтому общей плоскости у AB и CC₁ нет; это скрещивающиеся прямые.
3. AB и A₁B₁ лежат в плоскости грани ABB₁A₁, не пересекаются и являются противоположными рёбрами этой грани.

Ответ: AB и CC₁ скрещиваются; AB ∥ A₁B₁. Во втором случае компланарность обеспечена общей гранью, а в первом она исключена пересечением CC₁ с плоскостью основания.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Её допускают, перенося на пространство привычное рассуждение с плоскости. Для проверки спросите себя, доказано ли, что обе прямые лежат в одной плоскости; если нет, возможен случай скрещивания.

Ошибка — объявлять прямые скрещивающимися только потому, что они не пересекаются. Это условие подходит и для параллельных прямых, поэтому вывод неполон. Проверьте отдельно, можно ли провести плоскость через обе прямые, и обоснуйте, почему это невозможно.

Ошибка — забывать условие компланарности в определении параллельных прямых. Иногда оно кажется лишним, потому что на чертеже прямые выглядят как плоская пара. Перед записью a ∥ b убедитесь, что общая плоскость установлена условием или доказательством, а не только рисунком.

Ошибка — делать вывод о параллельности по изображению. Чертёж может показывать пространственные прямые так, будто они пересекаются или лежат в одной плоскости, хотя это не так. Проверяйте вывод по данным задачи и свойствам фигуры; рисунок используйте лишь как подсказку для рассуждения.

Связь с другими темами

Для изучения взаимного положения прямых нужно знать определения пересекающихся и параллельных прямых на плоскости. Также понадобятся понятия плоскости и принадлежности ей точки или прямой: именно принадлежность общей плоскости отделяет параллельные прямые от скрещивающихся.

Эта тема служит основой для дальнейшего изучения взаимного расположения прямых и плоскостей. Знание того, какие рёбра многогранника параллельны, пересекаются или скрещиваются, пригодится при построении сечений. Те же определения и свойства используют при доказательстве пространственных теорем.

Что запомнить

• Параллельные прямые в пространстве компланарны и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
• Две пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.
• Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.