§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Определения и обозначения

Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны; условие «лежат в одной плоскости» здесь обязательно. Определение позволяет отличить параллельные прямые от скрещивающихся и использовать их общее направление при доказательствах.

Прямые называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такие прямые не пересекаются, но параллельными не являются, потому что не имеют общей плоскости. Это понятие нужно, чтобы описать все случаи расположения двух прямых в пространстве, а не переносить на него правила планиметрии без проверки.

Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Пишут a ∥ α, где a — прямая, а α — плоскость; если прямая лежит в плоскости, общих точек у них бесконечно много, поэтому это не параллельность. Определение помогает различать положение прямой вне плоскости и положение прямой внутри неё.

Как это устроено

В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если прямые пересекаются, они вместе определяют единственную плоскость; если параллельны, то тоже лежат в одной плоскости. У скрещивающихся прямых общей плоскости нет, поэтому одного условия «не пересекаются» недостаточно для вывода о параллельности.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это свойство объясняет, почему направление параллельной прямой задаётся однозначно: две разные прямые через одну точку пересекли бы друг друга, а значит, не могли бы обе быть параллельны одной и той же прямой. В доказательствах это свойство часто используют, чтобы установить совпадение прямых или получить противоречие.

Параллельность прямой и плоскости можно установить через прямую, уже лежащую в плоскости. Если a не лежит в α и параллельна прямой b, причём b лежит в α, то a параллельна α. Действительно, если бы a пересекала α в точке M, то в плоскости α через M проходила бы прямая, параллельная b; по единственности параллельной это была бы сама a. Тогда a лежала бы в α, вопреки условию.

В признаке важно каждое условие: b должна принадлежать плоскости α, а a не должна лежать в α. Если забыть первое условие, параллельность двух прямых ничего не сообщает о выбранной плоскости. Если забыть второе, прямая a может целиком находиться в плоскости, и тогда у неё с плоскостью не ноль общих точек, а бесконечно много.

Для проверки расположения прямой относительно плоскости удобно рассуждать от противного. Предположим, что прямая пересекает плоскость, и рассмотрим точку пересечения; затем сравним направление исходной прямой с прямой в плоскости. Если получаем, что две разные прямые через эту точку должны быть параллельны одной и той же прямой, нарушается единственность параллельной. Такой ход превращает пространственную задачу в понятное рассуждение о прямых.

Признаки параллельности: что проверять

Пользуйся таблицей как списком проверок, а не как заменой доказательства: сначала выпиши, какие объекты лежат в какой плоскости. Для вывода о параллельности прямой и плоскости найди прямую внутри этой плоскости и отдельно проверь, что исходная прямая не содержится в ней. Если известно только, что две прямые не пересекаются, проверь, копланарны ли они, то есть лежат ли в одной плоскости.

Разбор задач

Условие. В тетраэдре ABCD точка M лежит на ребре AD, а точка N — на ребре CD. Известно, что MN ∥ AC. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости ABC. Задача проверяет применение признака: нужно найти прямую в плоскости ABC, параллельную MN, и убедиться, что MN не лежит в этой плоскости.

1. Рассмотрим треугольник ACD. Точки M и N принадлежат его сторонам AD и CD, а условие даёт параллельность MN ∥ AC. Значит, направление прямой MN совпадает с направлением прямой AC.
2. Прямая AC лежит в плоскости ABC по её обозначению. Следовательно, мы нашли прямую внутри нужной плоскости, параллельную MN; это первая часть признака.
3. Проверим, что MN не лежит в плоскости ABC. Точка N находится на ребре CD, а ребро CD пересекает плоскость ABC только в точке C; поскольку MN ∥ AC и рассматривается невырожденный тетраэдр, N не совпадает с C. Значит, N не принадлежит плоскости ABC, и тем более вся прямая MN не может лежать в этой плоскости.
4. Применим признак параллельности прямой и плоскости: MN параллельна прямой AC, лежащей в ABC, и сама MN не лежит в ABC. Поэтому MN ∥ (ABC).

Ответ: MN параллельна плоскости ABC. В решении сначала использовали параллельность внутри треугольника ACD, чтобы подобрать прямую AC в нужной плоскости. Затем отдельно исключили случай, когда MN лежит в ABC: без этой проверки признак применить нельзя.

Типичные ошибки

• Считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Такую ошибку допускают, когда переносят на пространство плоскую картину и не учитывают скрещивающиеся прямые. Проверь себя: у параллельных прямых должна существовать общая плоскость.

• Объявлять прямую параллельной плоскости только потому, что она параллельна какой-то прямой в пространстве. Эта прямая может не принадлежать плоскости, поэтому признак не срабатывает. Проверь, что найденная параллельная прямая действительно лежит в нужной плоскости.

• Не доказывать, что исходная прямая не лежит в плоскости. Условие «параллельна прямой плоскости» само по себе допускает, что обе прямые находятся в этой плоскости. Проверь положение исходной прямой по точкам или по её принадлежности другой плоскости.

• Путать пересечение плоскости с принадлежностью ей. Если прямая имеет с плоскостью одну общую точку, она пересекает плоскость; если лежит в ней, общих точек бесконечно много. Для самопроверки сопоставь своё заключение с определением параллельности: общих точек быть не должно.

Связь с другими темами

Параллельность в пространстве опирается на свойства параллельных прямых из планиметрии, прежде всего на единственность параллельной через заданную точку. В стереометрии эти знания помогают исследовать рёбра многогранников и положение их граней. Они также нужны при построении сечений: найденные параллельные линии задают направление следов плоскости на гранях.

При решении задач полезно различать принадлежность точки, прямой и плоскости: именно она позволяет проверить условия признака. Позже аналогичные рассуждения применяются к параллельности плоскостей и к взаимному расположению прямых и плоскостей в более сложных фигурах. Поэтому привычка указывать, в какой плоскости лежит каждая прямая, пригодится во всей стереометрии.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, поэтому не являются параллельными.
• Прямая параллельна плоскости, если у них нет общих точек.
• Если прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.
• Перед применением признака проверь оба условия: принадлежность вспомогательной прямой плоскости и непринадлежность ей исходной прямой.