"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Аксиомы стереометрии позволяют не только описывать точки, прямые и плоскости, но и выводить новые утверждения. В этом параграфе разбираются следствия о том, какие данные однозначно задают плоскость: прямая с точкой вне неё, две пересекающиеся прямые или две параллельные прямые. Для каждого случая отдельно доказывают существование плоскости и её единственность. Эти результаты помогают строить пространственные рассуждения и решать задачи без рисунка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Следствие из аксиом — утверждение, которое получают логическим выводом из аксиом и уже известных фактов. Иными словами, для него не вводят новое правило: показывают, что оно обязательно следует из тех правил, которые уже приняты. Следствия нужны, чтобы использовать аксиомы в конкретных задачах и не доказывать один и тот же факт заново.
Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость. «Вне неё» означает, что точка не принадлежит прямой. Утверждение говорит сразу о двух вещах: такую плоскость можно найти, и никакая другая плоскость не сможет содержать эту же прямую и точку.
Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Пересекающиеся прямые имеют общую точку, но не совпадают; значит, на каждой можно выбрать точку, отличную от точки пересечения. Этот результат позволяет по двум таким прямым однозначно определить плоскость, в которой они лежат.
Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Параллельные прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости. Следствие уточняет, что эта плоскость только одна, поэтому параллельная пара также однозначно задаёт плоскость.
Новые утверждения в стереометрии получают из аксиом и ранее доказанных фактов. Для этого выделяют данные условия, выбирают подходящую аксиому и проверяют, что её можно применить. Например, аксиома о плоскости через три точки срабатывает только тогда, когда эти точки не лежат на одной прямой. Если условие проверено, вывод следует из аксиомы и не требует дополнительных предположений.
Пусть дана прямая и точка вне неё. Для существования плоскости выберем на прямой две различные точки и рассмотрим их вместе с данной точкой. Три точки не могут лежать на одной прямой: первые две задают исходную прямую, а третья на ней не лежит. По аксиоме через них проходит плоскость, содержащая и всю исходную прямую, и внешнюю точку.
Для единственности предположим, что подходят две плоскости. Каждая содержит выбранные две точки прямой и данную точку вне неё, то есть одни и те же три точки, не лежащие на одной прямой. По аксиоме через эти точки проходит только одна плоскость, значит, обе рассматриваемые плоскости совпадают. Это отдельная часть доказательства: одного построения плоскости достаточно для существования, но не для единственности.
Если две прямые пересекаются в точке O, возьмём на первой точку A, отличную от O, а на второй — точку B, отличную от O. Точки O, A и B не лежат на одной прямой, иначе обе прямые совпали бы. Плоскость через O, A и B существует по аксиоме; в ней лежит каждая исходная прямая, поскольку в плоскости находятся две точки каждой прямой. Единственность следует так же: любая подходящая плоскость содержит O, A и B.
Для параллельных прямых выберем точку P на одной из них. Она не лежит на другой, поэтому через вторую прямую и P проходит единственная плоскость. В этой плоскости через P можно провести единственную прямую, параллельную второй прямой. По условию такой прямой является первая, следовательно, плоскость содержит обе прямые. Любая плоскость, содержащая обе, содержит вторую прямую и точку P, поэтому совпадает с построенной.
| Данные объекты | Условие | Что утверждается |
|---|---|---|
| Прямая и точка | Точка не лежит на прямой | Через них проходит ровно одна плоскость |
| Две пересекающиеся прямые | Прямые имеют одну общую точку и не совпадают | Через обе прямые проходит ровно одна плоскость |
| Две параллельные прямые | Прямые не пересекаются и параллельны | Через обе прямые проходит ровно одна плоскость |
Сначала найди в условии задачи нужную пару объектов и проверь, выполнено ли указанное условие. Затем используй соответствующую строку таблицы как готовое следствие. Если нужно доказать результат, вспомни, какие точки задают плоскость в этом случае.
Дана прямая a и точка A, не лежащая на ней. Сколько плоскостей содержат a и A? Нужно ответить не только на вопрос о количестве, но и проверить, почему плоскость существует и почему нельзя найти вторую такую плоскость.
Ответ: ровно одна плоскость.
Прямые a и b пересекаются в точке O. Докажите, что точки A на a и B на b вместе с O задают плоскость, содержащую обе прямые. Здесь важно, чтобы A и B были отличны от O: это следует понимать из условия выбора точек на прямых, иначе трёх точек для применения аксиомы не получится.
Ответ: плоскость существует и содержит обе прямые; по аксиоме через указанные три точки она единственная.
Даны две параллельные прямые a и b. Докажите, что через них проходит единственная плоскость. Для построения удобно зафиксировать точку на одной прямой: она не принадлежит другой, поэтому можно применить следствие о прямой и точке вне неё.
Ответ: через две параллельные прямые проходит ровно одна плоскость.
Существование плоскости не означает автоматически её единственность. Иногда построение одной плоскости ошибочно принимают за полное доказательство, потому что на рисунке не видно других вариантов. Проверь себя: рассуждение должно отдельно объяснять, почему любая другая подходящая плоскость совпадает с найденной.
Аксиому о плоскости через три точки нельзя применять, не проверив, что точки не лежат на одной прямой. Это условие иногда упускают, потому что на схеме точки кажутся расположенными по-разному, но рисунок может быть неточным. Проверь, какая прямая проходит через выбранные точки, и докажи, что третья точка ей не принадлежит.
Для пересекающихся прямых используют точку пересечения, а для параллельных — точку одной прямой, которая не лежит на другой. Путаница возникает из-за того, что в обоих случаях речь идёт о двух прямых, но способ выбора точек различается. Проверь условие: у пересекающихся прямых есть общая точка, а у параллельных её нет.
Нельзя просто утверждать, что параллельные прямые лежат в одной плоскости, если задача требует доказательства. Такой вывод нужно связать с определением параллельных прямых или обосновать следствием о плоскости. Проверь, на какой известный факт опирается рассуждение; если опоры нет, доказательство неполное.
Для этих следствий нужны аксиомы стереометрии, понятие принадлежности точки прямой и плоскости, а также определения пересекающихся и параллельных прямых. Без них нельзя проверить, какие точки выбрать и применима ли аксиома о трёх точках. Позже результаты помогут доказывать взаимное расположение прямых и плоскостей. Они также пригодятся при построении сечений многогранников: сначала нужно установить, в какой плоскости лежат заданные элементы.
Почему через прямую и точку вне неё проходит именно одна плоскость?
Выберем на прямой две разные точки и добавим точку, не лежащую на прямой. Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому по аксиоме через них проходит плоскость. Любая плоскость, содержащая исходные прямую и точку, содержит все три точки, а значит, совпадает с построенной.
Как доказать, что две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости?
Обозначим точку пересечения прямых через O и возьмём на каждой прямой ещё по одной точке A и B. Точки O, A и B не лежат на одной прямой, поэтому через них проходит плоскость. Она содержит обе прямые: на каждой лежат две точки этой плоскости.
Почему две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости?
Возьмём точку на одной прямой и проведём плоскость через эту точку и вторую прямую. В этой плоскости через выбранную точку проходит единственная прямая, параллельная второй прямой. По условию ею является первая прямая, поэтому обе прямые лежат в плоскости.
Чем доказательство существования плоскости отличается от доказательства её единственности?
Существование доказывают, показывая, как получить хотя бы одну подходящую плоскость, например, по трём точкам не на одной прямой. Для единственности предполагают, что подходят две плоскости, и показывают, что обе содержат один и тот же набор определяющих точек. По аксиоме такие плоскости совпадают.
Можно ли задать плоскость тремя точками на одной прямой?
Нет, аксиома задаёт плоскость по трём точкам, которые не лежат на одной прямой. Если все три точки расположены на одной прямой, через эту прямую проходит множество плоскостей. Поэтому условие о неколлинеарности точек необходимо.
3. Некоторые следствия
