2. Аксиомы стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В планиметрии рассматривают фигуры на плоскости, а в стереометрии нужно учитывать, как объекты расположены друг относительно друга в объёме. Это позволяет описывать, например, форму комнаты или многогранника.

Аксиома стереометрии — исходное утверждение о точках, прямых и плоскостях, которое принимают без доказательства. Аксиомы задают правила, на которые опираются дальнейшие рассуждения. Благодаря им можно доказывать теоремы о расположении фигур в пространстве.

Принадлежность точки плоскости обозначают записью A ∈ α. Она означает, что точка A лежит в плоскости α; греческими буквами обычно обозначают плоскости. Такая запись помогает кратко описывать, какие точки и прямые входят в рассматриваемую фигуру.

Пересечение плоскостей — их общая часть. Если две плоскости имеют общую точку, по аксиоме их общая часть является прямой. Это важно для задач, где требуется найти линию, принадлежащую сразу двум плоскостям.

Как это устроено

В стереометрии точки и прямые дополняются плоскостями, потому что пространственную фигуру нельзя полностью описать только объектами, лежащими на одной плоскости. На чертеже плоскость обычно изображают параллелограммом: он условно передаёт её, хотя сама плоскость бесконечна. Точки обозначают заглавными латинскими буквами, прямые — строчными, а плоскости — греческими буквами или тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Условие о неколлинеарности необходимо: если три точки расположены на одной прямой, то эту прямую можно включить в разные плоскости. Значит, таких точек недостаточно, чтобы выбрать единственную плоскость. Три точки вне одной прямой, напротив, задают её однозначно.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Причина в том, что прямая определяется двумя своими точками, а плоскость, содержащая эти точки, содержит и соединяющую их прямую. Поэтому, чтобы доказать принадлежность прямой плоскости, достаточно указать две точки этой прямой, лежащие в плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Общая часть не может состоять только из одной точки: через точку пересечения можно провести общую прямую, лежащую в обеих плоскостях. В результате все точки этой прямой общие для плоскостей, а сама она образует их линию пересечения.

Аксиомы позволяют выводить новые утверждения, называемые следствиями. Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость: вместе с двумя точками прямой внешняя точка образует три точки, не лежащие на одной прямой. Две пересекающиеся прямые также определяют единственную плоскость, поскольку на них можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой. В обоих случаях единственность следует из аксиомы о трёх точках.

Аксиомы стереометрии и их следствия

В таблице собраны исходные правила и два следствия из них. Сначала проверь, выполнено ли условие в среднем столбце, а затем используй утверждение из последнего столбца. Особенно важно не применять вывод, если его условие не выполнено.

Разбор задач

Задача 1

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Условие уже содержит признак, нужный для применения аксиомы о трёх точках. Проверим, что именно она позволяет заключить.

1. Уточняем условие: точки A, B и C неколлинеарны.
2. Применяем аксиому: через любые три такие точки проходит ровно одна плоскость.
3. Следовательно, другой плоскости, проходящей через все три точки, быть не может.

Ответ: через точки A, B и C проходит ровно одна плоскость.

Задача 2

Точки A и B принадлежат плоскости α, а прямая l проходит через A и B. Нужно сделать вывод о положении прямой относительно плоскости. Для этого достаточно заметить, что A и B — две точки одной и той же прямой.

1. Выясняем, что точки A и B лежат на прямой l.
2. По условию обе эти точки принадлежат плоскости α.
3. Применяем аксиому о прямой и плоскости: если две точки прямой лежат в плоскости, вся прямая лежит в ней.

Ответ: прямая l принадлежит плоскости α.

Задача 3

Плоскости α и β различны и имеют общую точку A. Прямая l проходит через A и является их линией пересечения. Точка B принадлежит α и прямой l. Докажем, что B принадлежит β. Здесь нужно использовать, что линия пересечения является общей для обеих плоскостей.

1. Так как α и β имеют общую точку, по аксиоме они пересекаются по прямой l.
2. Каждая точка прямой l принадлежит обеим плоскостям α и β.
3. По условию B лежит на l, значит, B принадлежит β. Условие о принадлежности B плоскости α согласуется с тем, что l — общая прямая.

Ответ: точка B принадлежит плоскости β.

Типичные ошибки

Применять аксиому о трёх точках, не проверив, что они не лежат на одной прямой, — значит забыть условие, от которого зависит единственность плоскости. Ошибку допускают, потому что запоминают только слова о трёх точках. Перед выводом проверь, что точки неколлинеарны; иначе через их общую прямую можно провести несколько плоскостей.

Одна точка прямой, лежащая в плоскости, не доказывает, что в ней лежит вся прямая. Для такого вывода нужны две точки прямой, принадлежащие плоскости. Проверь себя вопросом: указаны ли обе точки и лежат ли они на рассматриваемой прямой?

Утверждать, что любые две плоскости пересекаются, неверно: они могут не иметь общих точек. Эту ошибку провоцирует привычка пользоваться аксиомой без проверки её условия. Сначала установи наличие общей точки, и только после этого заключай, что плоскости пересекаются.

Пересечение двух плоскостей нельзя считать одной точкой: при наличии общей точки их общая часть — прямая. Иногда путают отдельную точку, через которую видно пересечение, со всей линией пересечения. Чтобы проверить вывод, вспомни аксиому и обозначь общую прямую, а не только точку на ней.

Связь с другими темами

Для работы с аксиомами нужны знакомые из планиметрии понятия: точка, прямая, отрезок, пересекающиеся прямые и принадлежность точки прямой. В стереометрии к ним добавляются плоскость и отношения между плоскостями, поэтому важно уверенно читать записи вроде A ∈ α. Аксиомы служат основой для теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей. Позже эти знания используют при изучении многогранников и построении их сечений.

Что запомнить

• Аксиомы стереометрии принимают без доказательства.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
• Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость.
• Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.