§ 3. Аксиомы стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от планиметрии, где рассматривают фигуры на плоскости, здесь исследуют также их расположение относительно друг друга в пространстве. Это понятие нужно, чтобы понимать, почему для доказательств о пространственных фигурах используют не только свойства плоских фигур, но и специальные правила.

Плоскость — бесконечная плоская поверхность, задающая одно из основных пространственных образований. Её обычно обозначают греческими буквами α, β, γ или называют по трём точкам, например плоскость ABC. Плоскость служит основой для рассмотрения прямых и фигур, которые лежат в ней.

Аксиомы стереометрии — исходные утверждения о точках, прямых и плоскостях, принимаемые без доказательства. Их не выводят из других положений курса: на них опираются, доказывая следствия и решая задачи. Поэтому при применении аксиомы нужно точно проверить, совпадают ли данные задачи с её условием.

Копланарные точки и прямые — точки и прямые, лежащие в одной плоскости. Например, если несколько точек принадлежат плоскости α, они копланарны. Это понятие помогает выяснить, можно ли рассматривать заданные пространственные объекты в рамках одной плоской фигуры.

Как это устроено

Плоскость однозначно задают три точки, не лежащие на одной прямой. Причина в том, что одна прямая сама по себе допускает множество плоскостей, проходящих через неё, а третья точка вне этой прямой выбирает только одну из них. Если же все три точки лежат на одной прямой, дополнительного условия нет и плоскость определить однозначно нельзя. Поэтому в формулировке аксиомы обязательно уточняют, что точки неколлинеарны, то есть не лежат на одной прямой.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то в ней находится вся прямая. Две различные точки определяют прямую, а аксиома связывает их принадлежность плоскости с принадлежностью ей всей прямой. Так можно перейти от отдельных точек к целому объекту и, например, утверждать, что сторона фигуры целиком лежит в плоскости. Одной общей точки недостаточно: через неё прямая может выходить из плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Общая точка не может быть единственным местом пересечения: аксиома задаёт линию, проходящую через неё, и все точки этой линии принадлежат обеим плоскостям. При этом плоскости не обязаны совпадать целиком; если бы они совпадали, общей была бы вся плоскость, а не только линия пересечения. Следовательно, у разных пересекающихся плоскостей общие точки образуют прямую.

Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость — это следствие аксиом. Чтобы увидеть почему, выберем на прямой две различные точки и добавим к ним данную точку вне прямой. Получатся три точки, не лежащие на одной прямой, а через них проходит единственная плоскость. Она содержит две точки исходной прямой, значит, по аксиоме содержит всю прямую; любая подходящая плоскость должна совпасть с этой единственной плоскостью.

Через две пересекающиеся прямые также проходит единственная плоскость. Возьмём точку пересечения и ещё по одной точке на каждой прямой: эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому задают плоскость. В ней лежат обе прямые, поскольку каждая содержит две точки этой плоскости; единственность следует из того, что любая плоскость с обеими прямыми должна содержать все три выбранные точки. Это позволяет доказывать копланарность: если объекты лежат на этих прямых, они принадлежат одной и той же плоскости.

Аксиомы стереометрии и основные следствия

Сначала найдите в условии таблицы, какие объекты уже даны, и сравните их с условием нужной строки. Затем используйте утверждение из этой строки, не подменяя аксиому её следствием или наоборот. Такой порядок помогает обосновать каждый шаг доказательства.

Разбор задач

Задача 1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через эти точки? Здесь важно не пытаться строить разные плоскости, а сопоставить условие с формулировкой аксиомы. В ней указаны ровно три точки, не лежащие на одной прямой.

1. Проверяем условие: точки A, B и C неколлинеарны. Значит, их можно использовать для задания плоскости по первой аксиоме стереометрии. Обозначим эту плоскость ABC.

2. Аксиома утверждает не только существование плоскости через эти точки, но и её единственность. Поэтому другой плоскости, проходящей через все три точки, быть не может. Число искомых плоскостей равно одному.

Ответ: одна плоскость ABC.

Задача 2. Прямая a проходит через точки A и B плоскости α. Докажите, что вся прямая a лежит в плоскости α. Важно установить, что речь идёт о двух точках одной и той же прямой, принадлежащих заданной плоскости. Именно эти данные, а не только пересечение прямой с плоскостью в точке, нужны для применения аксиомы.

1. По условию A и B принадлежат плоскости α, а также лежат на прямой a. Точки A и B различны, поскольку через две совпавшие точки прямую определить нельзя. Следовательно, они являются двумя точками прямой a.

2. Применяем аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Значит, a целиком содержится в α. Это и требовалось доказать.

Ответ: прямая a лежит в плоскости α по аксиоме о двух точках прямой.

Задача 3. Прямые AB и AC пересекаются в точке A. Докажите, что точки B и C вместе с любой точкой D прямой AB лежат в одной плоскости. Сначала нужно найти плоскость, содержащую обе заданные прямые, а затем проследить, где находятся точки задачи. Такой ход удобен, потому что B и D принадлежат одной прямой, а C — другой.

1. Прямые AB и AC пересекаются, поэтому через них проходит единственная плоскость α. Точки A и B принадлежат прямой AB, а точки A и C — прямой AC. Следовательно, все четыре точки A, B, C и D лежат в α.

2. Точка D лежит на AB по условию, а вся прямая AB входит в α; значит, D принадлежит α. Точка C принадлежит AC, а эта прямая также лежит в α. Поэтому B, C и D находятся в одной плоскости α.

Ответ: точки B, C и D лежат в единственной плоскости α, проходящей через AB и AC.

Типичные ошибки

• Считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так ошибаются, потому что забывают проверить взаимное расположение точек: если они лежат на одной прямой, через эту прямую можно провести много плоскостей. Перед применением аксиомы проверьте, что точки неколлинеарны.

• Делать вывод о принадлежности всей прямой плоскости по одной общей точке. Одна точка не определяет, лежит ли остальная часть прямой в плоскости или выходит из неё. Для проверки найдите две точки этой прямой, принадлежащие плоскости.

• Утверждать, что две плоскости могут пересекаться только в одной точке. Обычно так переносят на пространство представление о точечном пересечении фигур, не вспоминая отдельную аксиому стереометрии. Если плоскости имеют общую точку, укажите, что они пересекаются по прямой.

• Путать аксиому с доказанной теоремой и не указывать основание вывода. Из-за этого бывает неясно, почему утверждение применимо именно к данным объектам. Проверяйте, приведено ли оно в качестве исходного правила или выведено из аксиом, и называйте нужное основание в доказательстве.

Связь с другими темами

До изучения стереометрии нужны базовые понятия планиметрии: точка, прямая, плоскость, принадлежность и пересечение фигур. Свойства фигур, лежащих в одной плоскости, по-прежнему рассматривают по законам планиметрии; аксиомы помогают установить, что объекты действительно копланарны. Позже эти правила понадобятся при доказательстве взаимного положения прямых и плоскостей, а также при построении сечений многогранников. Значит, аксиомы связывают пространственную задачу с уже знакомыми плоскими фигурами.

Что запомнить

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
• Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.
• Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
• При доказательстве нужно точно проверять условия применения каждой аксиомы.