§ 2. О некоторых пространственных фигурах

Определения и обозначения

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а вершины многоугольников — вершинами многогранника. Представляйте его как замкнутую оболочку, собранную из плоских фигур. Это определение позволяет описывать тело через его части и считать их.

Призма — многогранник, у которого есть два равных многоугольника в параллельных плоскостях, а остальные грани соединяют их соответствующие стороны. Равные многоугольники называются основаниями призмы, прочие грани — боковыми. Боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований. Такое описание помогает отличить основания от боковых частей фигуры.

Параллелепипед — призма, основаниями которой являются параллелограммы. У него шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин: две грани служат основаниями, а четыре — боковыми гранями. Все его грани являются параллелограммами. Это частный вид призмы, устройство которого удобно изучать через свойства параллелограмма.

Пирамида — многогранник, образованный многоугольником-основанием и точкой вне плоскости этого многоугольника. Эту точку называют вершиной пирамиды; боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину. Число боковых граней совпадает с числом сторон основания. Определение показывает, как из одной плоской фигуры и одной точки получается пространственное тело.

Как это устроено

Чтобы плоские многоугольники образовали многогранник, их стороны нужно соединить так, чтобы возникла замкнутая поверхность без открытых краёв. По каждому ребру соседствуют грани, поэтому оболочка полностью ограничивает часть пространства. Эту границу называют поверхностью многогранника, а заключённое внутри пространство вместе с границей — многогранником как телом. Различие важно, когда речь идёт отдельно о гранях или об объёме фигуры.

У призмы основания равны, потому что одно можно совместить с другим параллельным переносом. Поскольку плоскости оснований параллельны, соответствующие вершины можно попарно соединить отрезками, а соответствующие стороны образуют боковые грани. Число таких сторон одинаково у обоих оснований, поэтому у n-угольной призмы ровно n боковых граней. Боковые грани произвольной призмы — параллелограммы; прямоугольниками они становятся у прямой призмы, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям.

Параллелепипед наследует свойства параллелограмма, потому что каждая его грань — параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, поэтому противоположные грани параллелепипеда также параллельны и равны. Его пространственные диагонали соединяют противоположные вершины; они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это следует из параллелограммного устройства фигуры и позволяет находить симметричные пары вершин.

Пирамиду строят так: выбирают многоугольник-основание и точку вне его плоскости, затем соединяют эту точку с каждой вершиной основания. Каждая сторона основания вместе с двумя проведёнными отрезками образует треугольную боковую грань. Поэтому если в основании n-угольник, из вершины выходит n боковых рёбер и образуется n боковых треугольников. Сама вершина пирамиды не входит в основание, а учитывается отдельно.

Призма и пирамида различаются тем, как устроены их боковые части. У призмы есть два равных основания, а боковые грани попарно связывают их соответствующие стороны; у пирамиды основание одно, и все боковые треугольники сходятся в общей вершине. В призме боковые рёбра соединяют вершины двух оснований, а в пирамиде идут от вершин основания к вершине фигуры. По этим признакам можно определить вид многогранника, даже если его основание имеет много сторон.

Сравнение призмы и пирамиды

Сначала сравните число оснований, затем посмотрите на форму боковых граней: это самые заметные различия. Для подсчёта боковых граней достаточно определить число сторон основания. Уточняйте, прямая ли дана призма, прежде чем называть её боковые грани прямоугольниками.

Разбор задач

Задача 1. У призмы основание — пятиугольник. Определить число боковых граней, всех граней, рёбер и вершин. Обозначим число сторон основания через n: здесь n = 5. У призмы есть два основания, а каждой стороне основания соответствует одна боковая грань и одно боковое ребро.

1. Боковых граней столько же, сколько сторон основания: 5.
2. Всего граней две основы и пять боковых: 2 + 5 = 7.
3. В каждом из двух оснований по пять рёбер, ещё пять рёбер соединяют соответствующие вершины: 5 + 5 + 5 = 15.
4. Вершины расположены в двух основаниях: 5 + 5 = 10.

Ответ: 5 боковых граней, 7 граней всего, 15 рёбер и 10 вершин. Подсчёт по группам помогает не спутать рёбра оснований с боковыми рёбрами.

Задача 2. У параллелепипеда из одной вершины выходят три ребра. Определить пары равных и параллельных граней и пары противоположных вершин. Назовём общую вершину A, а концы трёх рёбер — B, D и A₁. Тогда грани, содержащие A, — параллелограммы, а каждой из них соответствует противоположная грань. Обозначим вершину, противоположную A, через C₁.

1. Противоположные грани параллельны и равны, потому что каждая грань — параллелограмм. Например, грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ образуют одну такую пару.
2. Остальные пары граней: ABB₁A₁ и DCC₁D₁; ADD₁A₁ и BCC₁B₁.
3. Противоположные вершины соединены пространственными диагоналями: пары A и C₁, B и D₁, C и A₁, D и B₁.

Ответ: три пары противоположных граней и четыре пары противоположных вершин. Для проверки проследите, что у каждой пары вершин нет общей грани и что они являются концами одной пространственной диагонали.

Задача 3. Основание пирамиды — шестиугольник. Найти число граней, рёбер и вершин и выяснить, как изменятся эти числа, если сторон основания станет на одну больше. Сначала отдельно считаем основание, боковые треугольники, рёбра основания и рёбра от основания к вершине. Такой способ не позволяет забыть вершину, расположенную вне плоскости основания.

1. Шестиугольник даёт 6 боковых граней, а вместе с основанием граней 6 + 1 = 7.
2. Рёбер основания 6 и ещё 6 боковых рёбер, итого 12.
3. Вершин основания 6; добавляем вершину пирамиды: 6 + 1 = 7.
4. При семиугольном основании появятся ещё одна боковая грань, одно ребро основания, одно боковое ребро и одна вершина основания. Всего станет 8 граней, 14 рёбер и 8 вершин.

Ответ: сначала 7 граней, 12 рёбер и 7 вершин; после увеличения числа сторон основания на одну — 8 граней, 14 рёбер и 8 вершин. Число рёбер увеличивается на два, так как добавляются ребро основания и боковое ребро.

Типичные ошибки

Гранью называют сам многоугольник, забывая, что он является частью поверхности многогранника. Так происходит, когда плоские фигуры представляют отдельно от собранного из них тела. Проверка: грани должны вместе образовывать замкнутую поверхность, ограничивающую многогранник.

Боковые рёбра призмы путают с рёбрами оснований, хотя они выполняют разные роли. Это легко сделать, если считать только видимые на чертеже отрезки и не проследить, какие вершины они соединяют. Проверяйте: боковое ребро всегда соединяет соответствующие вершины двух оснований.

Иногда считают, что боковые грани любой призмы прямоугольные. Причина ошибки — знакомство прежде всего с прямыми призмами, у которых боковые рёбра перпендикулярны основаниям. У произвольной призмы боковые грани являются параллелограммами; прямоугольники получаются только в частном случае прямой призмы.

При подсчёте элементов пирамиды можно пропустить её вершину или ошибочно включить её в основание. Обычно забывают, что вершина находится вне плоскости основания и не принадлежит многоугольнику. Проверьте число вершин отдельно: к числу вершин основания нужно прибавить одну вершину пирамиды.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать пространственные фигуры, нужно знать свойства многоугольников и, в частности, параллелограммов: они объясняют устройство граней параллелепипеда. Также пригодятся представления о параллельных прямых и плоскостях, поскольку основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Эти знания помогают описывать взаимное расположение частей многогранника.

Призмы и пирамиды станут основой для изучения сечений: нужно будет определять, какие грани и рёбра пересекает плоскость. Устройство фигур также пригодится при вычислении площадей поверхностей и объёмов. Умение считать грани, рёбра и вершины помогает контролировать построения и расчёты.

Что запомнить

• Многогранник ограничен поверхностью, составленной из многоугольников.
• У призмы два равных основания в параллельных плоскостях.
• Число боковых граней призмы равно числу сторон её основания.
• Параллелепипед — призма с параллелограммами в основаниях.
• У пирамиды одно основание, а боковые грани — треугольники.
• Число боковых граней пирамиды равно числу сторон основания.