§ 4. Следствия из аксиом. Способы задания плоскости

Определения и обозначения

Следствие из аксиом — утверждение, которое доказывают, опираясь на аксиомы и ранее доказанные теоремы. Аксиомы принимают как исходные правила, а следствия показывают, какие факты из них логически вытекают. Благодаря этому стереометрия развивается как связная система: новые доказательства используют уже установленные результаты.

Плоскость, заданная тремя точками, — единственная плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной прямой. Такие точки называют неколлинеарными. Условие нужно, чтобы выбрать одну плоскость: точки на одной прямой могут принадлежать сразу многим плоскостям.

Плоскость, заданная прямой и точкой вне неё, — единственная плоскость, которая содержит данную прямую и точку, не принадлежащую ей. Точка вне прямой добавляет направление, которого сама прямая не задаёт. Этот способ удобен, когда в задаче известны линия и отдельная точка.

Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми, — единственная плоскость, содержащая обе прямые. Их точка пересечения и по одной другой точке на каждой прямой позволяют получить три неколлинеарные точки. Так можно определить плоскость, не выбирая заранее три произвольные точки.

Как это устроено

Аксиома о плоскости говорит, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Слово «ровно» объединяет два утверждения: такая плоскость существует и другой плоскости через те же точки нет. Единственность особенно нужна в доказательствах: если две плоскости содержат одни и те же три неколлинеарные точки, обе совпадают с единственной плоскостью, определённой этими точками. Поэтому можно обосновать, что рассматриваемые объекты принадлежат одной плоскости.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Причина связана с тем, что через две точки проходит одна прямая, а в плоскости через эти точки также проходит прямая. Значит, заданная прямая совпадает с прямой, лежащей в плоскости. Это следствие превращает проверку для бесконечного числа точек прямой в проверку всего двух точек.

Чтобы обосновать способ задания плоскости прямой и точкой вне неё, обозначим прямую через a, а точку — через M. Выберем на a две различные точки A и B; обе принадлежат прямой, но M на ней не лежит. Поэтому точки A, B и M не могут оказаться на одной прямой. По аксиоме через них проходит ровно одна плоскость, и она содержит всю прямую a и точку M. Любая плоскость с такими условиями должна содержать A, B и M, а значит, совпадает с этой единственной плоскостью.

Пусть две прямые пересекаются в точке O. Возьмём на первой прямой точку A, отличную от O, а на второй — точку B, также отличную от O. Точки O, A и B не лежат на одной прямой: иначе обе прямые проходили бы через одну и ту же прямую OА, то есть совпадали бы, а не пересекались как разные прямые. Эти три точки определяют единственную плоскость, содержащую обе прямые. Любая плоскость, содержащая обе прямые, содержит O, A и B, поэтому другой плоскости с таким свойством нет.

Три точки на одной прямой не позволяют применить аксиому о трёх неколлинеарных точках. Более того, через эту прямую можно провести разные плоскости, и каждая будет содержать все три точки. Следовательно, такие точки не выделяют единственную плоскость. Это объясняет, почему условие о неколлинеарности нельзя опускать.

Способы задания плоскости

Пользуясь таблицей, сначала проверьте, какие объекты заданы, а затем — выполнено ли дополнительное условие. После этого выберите обоснование единственности: напрямую по аксиоме или сведением к трём неколлинеарным точкам. Если условие не выполнено, нельзя автоматически утверждать, что плоскость определена однозначно.

Разбор задач

Задача 1

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Нужно понять, применимо ли условие аксиомы о трёх точках, и учесть не только существование, но и единственность плоскости.

1. Проверяем условие: точки A, B и C неколлинеарны, то есть не лежат на одной прямой. Значит, это именно тот случай, который описывает аксиома стереометрии. Если бы точки оказались на одной прямой, применять её было бы нельзя.

2. По аксиоме через три неколлинеарные точки проходит плоскость, причём только одна. Слово «только» исключает возможность второй плоскости через A, B и C. Следовательно, достаточно назвать число таких плоскостей.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2

Прямая a и точка M, не принадлежащая ей, заданы в пространстве. Обоснуйте, что они определяют единственную плоскость. Здесь недостаточно сослаться на готовое название способа: нужно свести ситуацию к аксиоме о трёх неколлинеарных точках.

1. Выберем на прямой a две различные точки A и B. Точки A и B лежат на a, а M по условию не принадлежит a. Поэтому M не лежит на прямой AB, и все три точки неколлинеарны.

2. По аксиоме через A, B и M проходит единственная плоскость α. Она содержит A и B, значит, по следствию о двух точках прямой содержит всю прямую a. Кроме того, в α лежит точка M.

3. Предположим, что есть другая плоскость с теми же условиями. Она тоже содержит A, B и M, поэтому по единственности плоскости через эти три точки совпадает с α. Значит, плоскость, заданная прямой a и точкой M, единственна.

Ответ: прямая a и точка M задают ровно одну плоскость.

Задача 3

Прямые a и b пересекаются в точке O. Докажите, что прямая c, проходящая через точку A на a и точку B на b, лежит в плоскости, заданной a и b. Рассуждение состоит из двух частей: сначала задаём плоскость пересекающимися прямыми, затем устанавливаем принадлежность ей прямой c.

1. На каждой из прямых выберем по точке, отличной от O. Вместе с O они образуют три неколлинеарные точки, поскольку прямые a и b различны и пересекаются. По аксиоме через них проходит единственная плоскость α, содержащая обе прямые.

2. Точка A принадлежит a, а точка B принадлежит b. Так как обе прямые лежат в α, точки A и B тоже принадлежат α. Они являются двумя точками прямой c.

3. По следствию из аксиом, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в ней. Применяем его к A и B: получаем, что c целиком лежит в α.

Ответ: прямая c принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми a и b.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Её допускают, забывая условие аксиомы о неколлинеарности. Если точки лежат на одной прямой, через неё можно провести разные плоскости. Перед применением аксиомы проверьте, не принадлежат ли все три точки одной прямой.

Ошибка: выбрать точку на заданной прямой. Такая точка не добавляет нового направления, поэтому вместе с прямой она не определяет одну плоскость. Часто путают формулировку «прямая и точка» с условием «прямая и точка вне неё». Проверьте, что выбранная точка действительно не принадлежит прямой.

Ошибка: утверждать, что любые две прямые задают плоскость. Для рассматриваемого способа прямые должны пересекаться, иначе нельзя использовать точку пересечения и построить нужные три точки этим способом. Проверяйте взаимное расположение прямых, прежде чем ссылаться на этот способ задания плоскости. Не подменяйте условие теоремы более общим утверждением.

Ошибка: делать вывод о всей прямой по одной её точке. Одна точка прямой может лежать в плоскости, даже если остальные точки прямой находятся вне неё. Иногда достаточно видеть пересечение прямой с плоскостью, чтобы ошибочно назвать прямую лежащей в плоскости. Для нужного вывода найдите две различные точки прямой, принадлежащие плоскости.

Связь с другими темами

Для работы с этими утверждениями нужны аксиомы стереометрии, обозначения точек, прямых и плоскостей, а также понимание принадлежности и пересечения. Если слово «принадлежит» означает, что объект расположен в другом объекте, то пересечение описывает общие точки объектов. Способы задания плоскости используют дальше при доказательствах о взаимном расположении прямых и плоскостей. Они также помогают строить сечения и решать задачи на параллельность.

Что запомнить

• Три точки задают единственную плоскость, только если они не лежат на одной прямой.
• Прямая и точка вне неё задают единственную плоскость.
• Две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
• Точки на одной прямой сами по себе не определяют единственную плоскость.