§ 5. Рисунки на доске и в тетради

Определения и обозначения

Изображение пространственной фигуры — её плоский рисунок, по которому можно судить о взаимном расположении элементов, но не всегда об их действительной форме и размерах. На нём показывают вершины, рёбра, грани и связи между ними. Такой рисунок нужен, чтобы рассуждать о пространственной фигуре на плоскости.

Параллельное проектирование — способ построения изображения, при котором точки фигуры проектируют на плоскость параллельными прямыми. Все эти прямые имеют одно выбранное направление. Благодаря этому способу можно единообразно переносить на рисунок все точки объёмного объекта.

Параллельная проекция точки — точка пересечения плоскости изображения с прямой, проходящей через исходную точку параллельно выбранному направлению проектирования. Иными словами, от пространственной точки проводят «луч» заданного направления до плоскости рисунка. Так получают положение её изображения.

Направление проектирования — направление прямых, по которым точки пространственной фигуры переносят на плоскость рисунка. Оно задаёт, с какой стороны условно смотрят на фигуру. От него зависит, какие элементы окажутся видимыми и как изменится внешний вид объекта.

Как это устроено

Пространственную фигуру изображают на плоскости, потому что доска и лист бумаги сами являются плоскими. При этом рисунок должен сообщать не столько настоящий внешний вид, сколько способ расположения элементов: какие точки лежат на одной прямой, какие прямые пересекаются или параллельны, какие рёбра принадлежат одной грани. Эти сведения позволяют выполнять доказательства и решать задачи без объёмной модели.

Параллельная проекция строится одинаково для каждой точки. Через точку проводят прямую, параллельную заданному направлению проектирования, и отмечают её пересечение с плоскостью изображения. Если проделать это для всех нужных вершин, а затем соединить полученные точки, получится плоский образ фигуры.

Прямолинейность сохраняется потому, что все точки исходной прямой при таком построении переходят в точки одной прямой на плоскости изображения. Поэтому ребро многогранника изображают отрезком, а не кривой линией. Принадлежность также сохраняется: если точка лежит на прямой в пространстве, её проекция окажется на изображении этой прямой.

Параллельность сохраняется благодаря единому направлению переноса точек. Проекции двух параллельных прямых имеют одинаковое направление, поэтому остаются параллельными или в особом случае совпадают. Это позволяет переносить на рисунок сведения о параллельных рёбрах, гранях и других элементах.

Длины и углы обычно искажаются, потому что разные участки фигуры находятся на разных расстояниях от плоскости изображения и наклонены к ней по-разному. Поэтому равные в пространстве отрезки могут выглядеть неодинаковыми, а прямой угол — острым или тупым. При изображении многогранника видимые рёбра проводят сплошными линиями, а скрытые — пунктиром: так сохраняется информация о полном строении фигуры.

Что сохраняется и что может измениться при параллельном проектировании

Таблицу удобно использовать как проверку построения: сначала ищите свойства, которые обязаны сохраниться, а затем не делайте выводов по внешнему виду о длинах и углах. Особенно надёжны принадлежность и параллельность, тогда как измерения на рисунке могут быть условными.

Разбор задач

Задача 1. Постройте изображение тетраэдра, отметьте видимые и невидимые рёбра. Тетраэдр имеет четыре вершины и четыре треугольные грани, поэтому на рисунке должны быть показаны все шесть рёбер. Видимость зависит от выбранного направления проектирования.

1. Изобразите треугольник ABC — основание тетраэдра.
2. Выберите положение вершины D вне плоскости основания и отметьте её на рисунке.
3. Соедините D с A, B и C, поскольку эти отрезки являются боковыми рёбрами.
4. Сплошными линиями оставьте рёбра, которые условно видны, а скрытое ребро проведите пунктиром.

Ответ: получено изображение тетраэдра ABCD с шестью рёбрами; видимые рёбра обозначены сплошными линиями, невидимое — пунктиром. Даже пунктирное ребро нельзя удалять, иначе нарушится связь между вершинами и гранями.

Задача 2. Изобразите параллелепипед и укажите пары параллельных рёбер, соответствующие параллельным рёбрам фигуры. Обозначим вершины нижнего основания ABCD, а верхнего — A₁B₁C₁D₁. Нужно передать три семейства рёбер, каждое из которых имеет одно направление.

1. Нарисуйте параллелограмм ABCD как изображение нижнего основания.
2. Из вершин A, B, C, D проведите в одном направлении отрезки к A₁, B₁, C₁, D₁.
3. Соедините точки A₁, B₁, C₁, D₁, получив верхнее основание.
4. Запишите пары, например AB ∥ CD, AD ∥ BC и AA₁ ∥ BB₁; аналогично укажите остальные рёбра каждого направления.

Ответ: на рисунке должны сохраниться параллельность соответствующих рёбер и связи между основаниями. Их длины не следует сравнивать по внешнему виду, поскольку проекция могла их изменить.

Задача 3. На рисунке изображена треугольная призма. Известно, что её боковые рёбра параллельны, а отношение двух отрезков задано на одном ребре. Требуется построить изображение и перенести на него обозначения, не распространяя отношение на другие направления без основания.

1. Изобразите два треугольника-основания ABC и A₁B₁C₁.
2. Соедините соответствующие вершины AA₁, BB₁, CC₁ и сохраните их параллельность.
3. На том ребре, где указано условие, отметьте нужные точки и подпишите отношение отрезков.
4. Проверьте, что отношение записано на одной прямой и что невидимые рёбра показаны пунктиром.

Ответ: структура треугольной призмы и параллельность боковых рёбер переданы, а заданное отношение отмечено только на указанном ребре. Это соответствует свойствам проекции и не создаёт лишних утверждений о длинах.

Типичные ошибки

Считать длину отрезка на рисунке его пространственной длиной. Так ошибаются, потому что рисунок похож на обычную геометрическую чертёжную схему. Проверяйте себя: если длина не дана условием или не вычислена, измерение линейкой на проекции ничего не доказывает.

Определять по рисунку, что угол прямой или отрезки равны. Наклон фигуры к плоскости изображения меняет вид углов и длины отрезков. Чтобы проверить вывод, ищите такое свойство в условии или используйте теорему, а не внешний вид.

Изображать параллельные в пространстве прямые пересекающимися. Это происходит, когда ученик стремится сделать рисунок более объёмным и забывает о свойствах проекции. Проведите через направления рёбер мысленные линии: соответствующие параллельные элементы должны иметь одинаковое направление.

Проводить невидимые рёбра сплошной линией или пропускать их. В первом случае скрытое ребро выглядит видимым, во втором исчезает часть структуры многогранника. Проверьте, соединены ли все вершины по условию, и обозначьте скрытые связи пунктиром.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать понятия точки, прямой, плоскости, параллельных прямых и многогранника. Без них трудно понять, какие элементы следует соединять и какие свойства рисунок обязан передавать.

Навык построения плоских изображений понадобится при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, сечений многогранников и решении стереометрических задач. Хороший рисунок помогает увидеть условие, но не заменяет доказательство.

Что запомнить

• Рисунок пространственной фигуры — условное плоское изображение.
• При параллельном проектировании прямые отображаются прямыми.
• Параллельные прямые переходят в параллельные или совпадающие прямые.
• Принадлежность точки прямой сохраняется.
• Длины и углы обычно не сохраняются.
• Невидимые рёбра многогранника принято изображать пунктиром.