§ 6. Классификация взаимного расположения двух прямых в пространстве

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — две прямые, имеющие ровно одну общую точку. Они обязательно лежат в одной плоскости, поэтому их можно рассматривать как обычные прямые на плоскости. Это определение используют, когда нужно установить единственную точку встречи прямых.

Параллельные прямые — две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Их часто обозначают так: a ∥ b. Условие «различные» отделяет параллельные прямые от случая, когда две записи описывают одну и ту же прямую.

Совпадающие прямые — прямые, у которых совпадают все точки. Иными словами, это одна и та же геометрическая прямая, заданная, например, разными способами. Такой случай нужно выделять отдельно, потому что у совпадающих прямых не одна и не ноль общих точек, а бесконечно много.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и потому не пересекаются. Они могут находиться в разных частях пространственной фигуры, хотя на чертеже выглядят почти пересекающимися. Это новый для пространственной геометрии случай, которого нет у двух прямых на одной плоскости.

Как это устроено

Если две прямые имеют общую точку, на каждой из них можно выбрать ещё по точке, отличной от точки пересечения. Эти три точки определяют плоскость, если не лежат на одной прямой, а обе исходные прямые проходят через них. Поэтому две пересекающиеся прямые всегда компланарны, то есть лежат в одной плоскости. Это свойство позволяет искать общую плоскость через известную точку пересечения.

В одной плоскости для двух различных прямых возможны только два варианта: они пересекаются или не пересекаются. Во втором случае по определению они параллельны. Если же прямые имеют более одной общей точки, через любые две такие точки проходит единственная прямая, поэтому обе прямые совпадают. Так появляются все случаи, возможные внутри одной плоскости.

Если общих точек нет, одного этого признака недостаточно для классификации. Нужно выяснить, можно ли найти плоскость, содержащую обе прямые. Если такая плоскость существует, прямые параллельны, а если общей плоскости нет, прямые скрещиваются. Именно проверка компланарности, то есть принадлежности одной плоскости, отличает эти два случая.

На плоскости две непересекающиеся различные прямые всегда параллельны, потому что сама плоскость уже является для них общей. В пространстве прямые могут «разойтись» ещё и по третьему измерению, поэтому они перестают быть компланарными. При решении задач сначала анализируют общие точки, а затем — общую плоскость. Такое рассмотрение по двум признакам исключает ошибку, когда любые непересекающиеся прямые называют параллельными.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользоваться таблицей удобно поэтапно: сначала определить число общих точек, а затем проверить наличие общей плоскости. Если общих точек нет, именно последний признак разделяет параллельные и скрещивающиеся прямые. Для совпадающих прямых проверка общей плоскости не вызывает затруднений, поскольку это одна и та же линия.

Разбор задач

Прямые AB и CD в кубе

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определить взаимное расположение прямых AB и CD. Обе прямые являются рёбрами нижней грани куба. Нужно не ограничиваться видом чертежа, а указать плоскость и отсутствие общих точек.

1. Точки A, B, C и D лежат в плоскости нижней грани ABCD, значит, прямые AB и CD лежат в одной плоскости.
2. Ребро AB и ребро CD не имеют общих точек, так как это разные противоположные стороны грани.
3. Две различные прямые одной плоскости, не имеющие общих точек, параллельны.

Ответ: AB ∥ CD, это параллельные прямые. Ключевым было установить их общую плоскость ABCD, а не только заметить, что на рисунке они не пересекаются.

Прямые AB и CD в тетраэдре

Условие. В тетраэдре ABCD определить взаимное расположение рёбер AB и CD. Эти рёбра не имеют общей вершины, поэтому сразу исключается пересечение. Однако для вывода о скрещивании нужно дополнительно доказать отсутствие общей плоскости.

1. Прямые AB и CD не пересекаются, поскольку множества их концов {A, B} и {C, D} не пересекаются.
2. Предположим, что обе прямые лежат в некоторой плоскости α.
3. Плоскость α содержит прямую AB и точку C, не лежащую на AB, поэтому она должна совпадать с плоскостью ABC.
4. Тогда точка D также должна лежать в плоскости ABC, что невозможно для тетраэдра: вершина D не принадлежит грани ABC.

Ответ: прямые AB и CD скрещивающиеся. Они не имеют общих точек и не могут быть помещены в одну плоскость.

Прямые a и b относительно плоскости α

Условие. Прямая a проходит через точки A и B плоскости α, а прямая b пересекает α в точке C, причём C не лежит на AB. Требуется определить взаимное расположение a и b. Условие о точке C специально показывает, что точка пересечения b с плоскостью не лежит на первой прямой.

1. Так как A и B принадлежат α, прямая a совпадает с прямой AB и лежит в плоскости α.
2. Предположим, что a и b лежат в одной плоскости β.
3. Плоскость β содержит прямую AB и точку C, не лежащую на AB, поэтому она единственна.
4. Но плоскость α также содержит прямую AB и точку C, значит, β = α.
5. Тогда вся прямая b лежала бы в α, что противоречит условию: b пересекает α в одной точке C.

Ответ: прямые a и b скрещивающиеся. Они не могут пересекаться, потому что их общая точка должна была бы лежать в α, а общей плоскости для них не существует.

Типичные ошибки

Любые непересекающиеся прямые называют параллельными. Так рассуждают по привычке из планиметрии, где общей плоскостью служит сама плоскость чертежа. В пространстве нужно дополнительно проверить, лежат ли прямые в одной плоскости.

Прямые называют скрещивающимися только по рисунку. Перспективное изображение может исказить расстояния и направления, поэтому видимый разрыв ещё ничего не доказывает. Проверьте отсутствие общей плоскости, используя свойства граней, вершин и плоскостей фигуры.

Совпадающие прямые считают параллельными без оговорки. Ошибка возникает из-за нестрогого смысла слова «не пересекаются»: одна прямая не пересекает другую в единственной точке, но имеет с ней все точки общими. Сверьте определение и выясните, являются ли прямые различными.

Отсутствие общей точки принимают за отсутствие общей плоскости. Эти признаки описывают разные свойства: непересечение бывает и у параллельных, и у скрещивающихся прямых. После проверки общих точек отдельно установите, существует ли плоскость, содержащая обе прямые.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны представления о прямой, плоскости, пересечении прямых и параллельности на плоскости. Также используются аксиомы стереометрии, особенно утверждение о единственной плоскости через заданные точки и прямую.

Классификация понадобится при изучении параллельности прямой и плоскости, а также параллельных плоскостей. Она помогает определять взаимное расположение рёбер и диагоналей многогранников.

В задачах на пространственные фигуры важно уметь доказывать, какие точки и прямые принадлежат одной плоскости. Это умение позволяет отличать обоснованный вывод о скрещивании от простой догадки по рисунку.

Что запомнить

• Две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.
• Совпадающие прямые имеют более одной общей точки.
• Параллельные прямые различны, лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• В пространстве непересекающиеся прямые не обязательно параллельны.
• Чтобы различить параллельные и скрещивающиеся прямые, проверьте, существует ли содержащая их общая плоскость.