"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Стереометрия описывает фигуры в пространстве, а её основные правила задают аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства. Они связывают точки, прямые и плоскости и помогают рассуждать о том, как эти объекты расположены друг относительно друга. Из трёх аксиом о плоскости и её точках выводят важные следствия: например, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Понимание этих правил нужно для доказательства пространственных теорем и построения сечений многогранников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от планиметрии, которая рассматривает фигуры на плоскости, стереометрия описывает объёмные объекты и взаимное расположение плоскостей. Это различие нужно учитывать, потому что в пространстве прямая может не лежать в плоскости, а две плоскости могут пересекаться.
Аксиома стереометрии — исходное утверждение о точках, прямых и плоскостях, которое принимают без доказательства. Аксиомы служат опорой для доказательства теорем: они задают правила, по которым можно делать выводы о пространственных фигурах. Например, из аксиом выводят, какие объекты определяют одну плоскость.
Принадлежность точки плоскости означает, что точка лежит в этой плоскости. Запись A ∈ α читают «точка A принадлежит плоскости α», а A ∉ α — «точка A не принадлежит плоскости α». Такие обозначения позволяют кратко записывать условия и выводы в доказательствах.
Пересечение плоскостей — совокупность их общих точек. Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, по аксиоме их общие точки образуют прямую. Это помогает определить не только сам факт пересечения, но и форму линии, по которой плоскости встречаются.
Описывать пространство только наглядными рисунками недостаточно: рисунок показывает лишь часть пространственной ситуации и может вводить в заблуждение. Поэтому геометрия задаёт исходные правила, связывающие точки, прямые и плоскости. Из них рассуждением получают более сложные утверждения, не принимая каждое из них на веру.
Аксиома A1 говорит, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Условие о непрямой расположенности необходимо: если три точки находятся на одной прямой, плоскостей, содержащих эту прямую, много. А если точки не лежат на одной прямой, они задают плоскость однозначно, и другой плоскости через все три пройти не может.
По аксиоме A2, если две точки прямой принадлежат плоскости, в этой плоскости лежит вся прямая. Причина в том, что прямая через две заданные точки единственна: внутри плоскости через эти же точки проходит та же самая прямая. Поэтому две точки дают достаточное основание включить в плоскость не только их, но и всю прямую.
Если две плоскости имеют общую точку, аксиома A3 утверждает, что их общие точки образуют прямую. Иначе говоря, плоскости не могут иметь ровно одну общую точку: вместе с ней у них есть все точки линии пересечения. Если бы у плоскостей были две общие точки, по A2 проходящая через них прямая целиком принадлежала бы обеим плоскостям.
Следствия получают из аксиом, а не принимают как новые исходные правила. Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость: можно взять на прямой две точки и вместе с точкой вне прямой применить A1. Для двух пересекающихся прямых выбирают их общую точку и ещё по одной точке на каждой прямой — эти три точки задают плоскость. Две параллельные прямые также определяют единственную плоскость: достаточно взять по две точки на прямых и использовать свойства параллельных прямых и аксиому A1.
| Обозначение | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| A1 | Три точки не лежат на одной прямой | Через них проходит единственная плоскость |
| A2 | Две точки прямой принадлежат плоскости | Вся прямая лежит в этой плоскости |
| A3 | Две плоскости имеют общую точку | Их общие точки образуют прямую |
Сначала найди в условии задачи точки, прямые или плоскости, к которым относится одна из строк таблицы. Затем сопоставь условие с выводом: так легче выбрать нужную аксиому, а не угадывать ответ по рисунку. Если вывод не совпадает с формулировкой аксиомы, проверь, не используешь ли ты уже следствие.
Задача 1. Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь дано именно условие непрямого расположения точек, поэтому нужно искать аксиому, которая связывает три такие точки с плоскостью. Для ответа не требуется строить чертёж или доказывать аксиому.
Задача 2. Точки A и B прямой l лежат в плоскости α. Сделать вывод о прямой l. В условии указаны две точки одной прямой, принадлежащие одной плоскости, — это точная ситуация для A2. Не следует ограничивать вывод только точками A и B: аксиома говорит обо всей прямой.
Задача 3. Плоскости α и β имеют общую точку M. Через M в плоскости α проведена прямая a, не совпадающая с линией пересечения плоскостей. Может ли другая точка прямой a лежать в β? Нужно проверить, что произошло бы, если бы такая точка нашлась. Тогда у прямой a оказалось бы две точки, общие для α и β.
Ошибка — считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так рассуждают, забывая проверить, не лежат ли все точки на одной прямой. Перед применением A1 проверь условие: точки должны быть неколлинеарны, то есть не принадлежать одной прямой.
Ошибка — заключать, что вся прямая лежит в плоскости, если в ней находится одна точка прямой. Одной общей точки достаточно лишь для пересечения прямой с плоскостью, поэтому легко перепутать её с условием A2. Проверь, указаны ли две точки именно этой прямой, принадлежащие плоскости.
Ошибка — считать, что две плоскости с общей точкой пересекаются только в ней. Обычно так переносят на плоскости представление о пересечении двух объектов в одной точке. Но по A3 общие точки плоскостей образуют прямую, поэтому при общей точке нужно говорить о линии пересечения.
Ошибка — называть аксиому доказанным утверждением или считать следствие аксиомой. Это происходит, когда не различают исходное правило и вывод из него. Для самопроверки спроси себя: утверждение принимается без доказательства или его можно получить из аксиом? Во втором случае это следствие или теорема.
Для работы с аксиомами нужны основы планиметрии: понятия точки, прямой и плоскости, принадлежности точки прямой и взаимного расположения прямых. Особенно пригодится знание о параллельных и пересекающихся прямых, поскольку эти случаи помогают задавать плоскости в пространстве. Если забыта планиметрия, сначала восстанови её обозначения и свойства.
Аксиомы станут основой дальнейших доказательств о прямых и плоскостях в пространстве. Например, они позволяют обосновать, где расположены общие точки объектов, и почему некоторые прямые принадлежат одной плоскости. Эти рассуждения также нужны при построении сечений многогранников: точки пересечения и линии на гранях связаны с плоскостью сечения.
Почему через три точки иногда нельзя провести единственную плоскость?
Если все три точки лежат на одной прямой, через них проходит не одна плоскость, а множество плоскостей, содержащих эту прямую. Единственность гарантируется только для трёх точек, не лежащих на одной прямой.
Если одна точка прямой лежит в плоскости, обязана ли вся прямая лежать в ней?
Нет. Прямая может пересекать плоскость только в этой точке. Чтобы заключить, что вся прямая лежит в плоскости, нужно знать, что в ней находятся две точки прямой.
По какой фигуре пересекаются две плоскости?
Если у двух плоскостей есть общая точка и они не совпадают, их общие точки образуют прямую. Эта прямая называется линией пересечения плоскостей.
Как доказать, что две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости?
У пересекающихся прямых есть общая точка, а на каждой можно выбрать ещё по одной точке. Получатся три точки, не лежащие на одной прямой, поэтому по аксиоме через них проходит единственная плоскость, содержащая обе прямые.
Чем аксиома отличается от теоремы?
Аксиому принимают без доказательства как исходное правило. Теорему, напротив, доказывают, опираясь на аксиомы и ранее доказанные утверждения.
2. Аксиомы стереометрии
