1. Предмет стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве. Название связано с греческими словами со значением «тело» и «измеряю». В отличие от планиметрии, она рассматривает не только плоские фигуры, но и объекты, расположенные в трёх измерениях.

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости. Такие фигуры называют двумерными: для их описания достаточно двух направлений, например длины и ширины. Понятие планиметрии понадобится, чтобы отличать задачи о плоских фигурах от задач о пространстве.

Пространственная фигура — множество точек пространства, рассматриваемое как геометрический объект. Фигура может состоять из отдельных точек, из линий, из поверхностей или включать их части. Это понятие позволяет описывать в стереометрии не только тела с объёмом, но и, например, прямую или плоскость.

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная поверхностями. Шар включает внутреннюю часть и поверхность, которая служит его границей; у куба есть внутренний объём и граница из граней, рёбер и вершин. Различие нужно, чтобы не смешивать сам объект с поверхностью, которая его ограничивает.

Как это устроено

Геометрию разделяют на планиметрию и стереометрию, потому что фигуры могут располагаться в разных условиях: на плоскости или в пространстве. На плоскости достаточно учитывать два направления, а пространственное положение требует учитывать ещё и глубину. Поэтому при переходе к стереометрии добавляются вопросы о том, как объекты находятся друг относительно друга в пространстве.

Стереометрия расширяет изучение знакомых плоских фигур, а не отменяет его. Например, треугольник может быть отдельной фигурой на плоскости, а может быть гранью пространственного тела. Во втором случае важно не только знать свойства треугольника, но и понимать, как его плоскость расположена относительно других частей тела.

Чтобы различать геометрическое тело и его границу, представь куб. Сам куб включает точки внутри, а его граница состоит из шести квадратных граней, соединённых рёбрами; рёбра встречаются в вершинах. Если оставить только границу, внутренней части уже не будет, поэтому это не весь куб как тело.

Пространственные фигуры описывают через точки, прямые и плоскости: эти объекты служат основой для построения более сложных форм. От того, пересекаются ли прямые, лежат ли они в одной плоскости и как расположены плоскости, зависит устройство фигуры. Поэтому сначала выясняют взаимное положение простых объектов, а затем по нему описывают целое.

Стереометрия нужна не только для теоретических построений: она помогает представить реальные предметы в виде геометрических моделей. По таким моделям можно находить размеры, расстояния и оценивать расположение объектов. Это важно, например, когда нужно спланировать помещение или понять, поместится ли предмет в заданном пространстве.

Сравнение планиметрии и стереометрии

Сначала определи, где расположена фигура: только на плоскости или в пространстве. Затем посмотри, какие объекты и отношения нужно изучить. Если задача о плоской фигуре внутри тела, могут понадобиться знания обоих разделов.

Разбор задач

Задача 1. Определите, к какому разделу геометрии относится изучение свойств треугольника, нарисованного на листе. Нужно определить не форму самого рисунка, а пространство, в котором рассматривается фигура.

1. Треугольник на листе расположен на плоской поверхности.
2. Свойства фигур на плоскости изучает планиметрия.
3. Значит, для этой задачи выбираем планиметрию, а не стереометрию.

Ответ: планиметрия.

Задача 2. Куб задан как пространственный объект. Укажите, что является его границей и какие плоские фигуры образуют эту границу. Необходимо отделить поверхность куба от пространства внутри него.

1. Граница куба состоит из его граней, соединённых по рёбрам.
2. У куба шесть граней, и каждая из них — квадрат, то есть плоская фигура.
3. Рёбра и вершины показывают, как грани соединяются; внутреннюю часть они не заменяют.

Ответ: граница куба — его поверхность из шести квадратных граней; вместе с внутренней частью она образует геометрическое тело.

Задача 3. На чертеже изображены две прямые и плоскость в пространстве. Объясните, почему для описания их взаимного расположения недостаточно рассматривать только свойства плоских фигур. Нужно учесть, могут ли прямые и плоскость находиться в разных плоскостях или пересекаться с ней.

1. Плоские фигуры рассматривают в пределах одной плоскости, а данные прямые могут быть расположены в пространстве.
2. Чтобы описать их положение, нужно выяснить, лежат ли прямые в плоскости, пересекают ли её или не имеют с ней общих точек.
3. Такие отношения относятся к пространственной геометрии, поскольку требуют учитывать положение объектов относительно плоскости.

Ответ: задачу рассматривают в стереометрии: свойства плоских фигур сами по себе не описывают все возможные пространственные положения прямых и плоскости.

Типичные ошибки

Считать, что стереометрия изучает только объёмные тела. Так думают, потому что слово «пространство» часто связывают с предметами, занимающими объём. Но стереометрия также рассматривает точки, прямые, плоскости и поверхности. Проверь себя: если объект расположен в пространстве, он может быть предметом стереометрии, даже если у него нет объёма.

Путать тело с его границей. Например, поверхность шара принимают за шар целиком, потому что на рисунке обычно видна именно линия границы. Однако тело включает и внутреннюю часть. Для проверки спроси себя, входят ли в рассматриваемый объект точки внутри поверхности.

Называть любую изображённую фигуру пространственной. Перспектива может создавать впечатление глубины, но изображённый треугольник всё равно может быть плоской фигурой. Ошибку допускают, принимая вид рисунка за свойства объекта. Проверяй, что именно рассматривается по условию, а не только как это нарисовано.

Считать планиметрию и стереометрию не связанными. Такое впечатление возникает, потому что эти разделы изучают фигуры в разных условиях. Но грани тел — плоские фигуры, свойства которых описывает планиметрия. Если в пространственной задаче появляется грань или сечение, проверь, какие знания о плоских фигурах пригодятся.

Связь с другими темами

Для изучения стереометрии нужны понятия планиметрии: точка, прямая, отрезок, угол, многоугольник и окружность. Они помогают описывать элементы пространственных фигур и их грани. Далее эти знания применяются при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, многогранников и тел вращения. На их основе также решают задачи о расстояниях и объёмах.

Что запомнить

• Планиметрия изучает фигуры на плоскости.
• Стереометрия изучает фигуры в пространстве.
• Пространственная фигура может состоять из точек, линий, поверхностей или их частей.
• Геометрическое тело включает внутреннюю часть пространства и свою границу.
• Грани многогранника — плоские фигуры, образующие его поверхность.
• Стереометрия использует знания планиметрии.