3. Некоторые следствия из аксиом

Определения и обозначения

Принадлежность прямой плоскости: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Например, если A и B принадлежат α, то прямая AB целиком принадлежит α. Это позволяет по двум точкам обосновать положение всей прямой.

Пересекающиеся плоскости: две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой. Эту прямую называют линией пересечения; каждая её точка принадлежит обеим плоскостям. Условие «различные» отделяет пересечение от случая, когда плоскости совпадают.

Следствие из аксиом — утверждение, которое выводится из аксиом и ранее доказанных теорем. В отличие от аксиомы, следствие нужно обосновать рассуждением. Такие утверждения расширяют набор фактов, которыми можно пользоваться при решении задач.

Единственность прямой пересечения: общие точки двух различных пересекающихся плоскостей образуют одну прямую. Иначе говоря, отдельные общие точки нельзя объединить в несколько разных линий пересечения. Это помогает не только найти общую прямую, но и доказать, что другой такой прямой нет.

Как это устроено

Пусть A и B — две различные точки прямой, и обе лежат в плоскости α. По аксиоме через две точки проходит единственная прямая. Прямая, соединяющая A и B, поэтому совпадает с исходной прямой, а по свойству плоскости, содержащей две точки, целиком принадлежит α. Здесь существенно, что обе точки находятся именно на рассматриваемой прямой.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то утверждение о прямой пересечения требует обосновать наличие ещё одной общей точки. Само по себе повторение общей точки этого не даёт: нужны аксиомы стереометрии, из которых выводится существование второй точки. Через две различные общие точки проводится прямая, и по свойству принадлежности прямой плоскости она лежит в обеих плоскостях. Поэтому все точки этой прямой общие.

Общие точки не могут образовывать две разные прямые. Действительно, две такие прямые определили бы плоскость: если они пересекаются, достаточно трёх не лежащих на одной прямой точек; если параллельны, можно взять две точки одной и точку другой. Поскольку обе линии лежат в каждой из исходных плоскостей, каждая исходная плоскость должна совпасть с плоскостью, определённой этими линиями. Это противоречит условию, что исходные плоскости различны.

Следствия помогают выяснять взаимное расположение фигур по заданным точкам, а не по внешнему виду чертежа. Например, принадлежность двух точек одной плоскости даёт основание заключить, что соединяющая их прямая лежит в этой плоскости. А чтобы утверждать, что плоскости пересекаются именно по прямой, нужно установить их различие и общие точки.

На пространственном чертеже две точки A и B, отмеченные на плоскости α и на прямой l, позволяют проверить, лежит ли l в α: если обе точки принадлежат l и α, то вся l лежит в α. Для плоскостей α и β сначала отмечают точки, принадлежащие обеим; если таких точек две и они различны, соединяющая их прямая является общей. Так находят линию пересечения, не принимая за неё любую случайную линию на рисунке.

Следствия из аксиом о прямых и плоскостях

Пользуйся таблицей как схемой доказательства: сначала выпиши исходные условия, затем выбери подходящее следствие. В последней строке особенно важно проверить, что плоскости различны: без этого вывод о единственной линии пересечения не гарантирован. Если нужное условие не дано, его надо отдельно доказать.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и B прямой лежат в плоскости α. Докажите, что прямая AB лежит в α. Нужно связать условия о двух точках с утверждением о всей прямой. Отдельно проверим, что A и B различны, поскольку две совпадающие точки прямую не задают.

1. По условию A и B принадлежат плоскости α.
2. Через две различные точки A и B проходит единственная прямая AB.
3. Плоскость, содержащая две точки A и B, содержит и проходящую через них прямую. Значит, вся прямая AB лежит в α.

Ответ: прямая AB целиком принадлежит плоскости α.

Задача 2

Плоскости α и β имеют общую точку A. Докажите, что они пересекаются по прямой. В условии необходимо уточнить, что плоскости различны: если они совпадают, единственной линии пересечения нет. Используем следствие из аксиом, которое даёт вторую общую точку.

1. Поскольку α и β различны и имеют общую точку A, по следствию из аксиом существует ещё одна общая точка B, отличная от A.
2. Через A и B проходит прямая AB. Так как обе точки лежат в α, прямая AB лежит в α; по той же причине она лежит и в β.
3. Общие точки двух различных плоскостей образуют одну прямую. Следовательно, AB является линией пересечения α и β.

Ответ: α и β пересекаются по прямой AB. Если в условии не подразумевается, что плоскости различны, утверждение в исходной формулировке неверно для совпадающих плоскостей.

Задача 3

Прямые a и b пересекаются в точке O; прямая a лежит в плоскости α, а b — в плоскости β. Докажите, что α и β имеют общую прямую. В условии есть пробел: плоскости могут совпадать, поэтому требуемый вывод верен только при дополнительном условии α ≠ β. Сначала установим общую точку, затем применим следствие.

1. Точка O лежит на a, а вся прямая a принадлежит α, значит, O ∈ α.
2. Точка O лежит на b, а вся прямая b принадлежит β, значит, O ∈ β. Следовательно, O — общая точка плоскостей.
3. Если α и β различны, то по следствию из аксиом у них есть общая прямая. Если этого условия нет, шаг сделать нельзя: например, обе прямые могут лежать в одной и той же плоскости.

Ответ: при дополнительном условии α ≠ β плоскости имеют общую прямую. Из приведённых условий без этого уточнения следует только, что O принадлежит обеим плоскостям.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что одной общей точки достаточно для доказательства пересечения плоскостей по прямой. Так думают, потому что представляют себе готовый чертёж, но в доказательстве нужно обосновать существование второй общей точки и указать, что плоскости различны. Проверь себя: названы ли разные общие точки и можно ли применить следствие о пересечении плоскостей?

Ошибка — заключать, что прямая лежит в плоскости, если в ней отмечена только одна точка этой прямой. Через одну точку можно провести много прямых, поэтому эта точка не определяет положение всей линии. Проверь, указаны ли две различные точки именно рассматриваемой прямой и обе ли принадлежат плоскости.

Ошибка — объявлять линией пересечения любую прямую, проходящую через общую точку плоскостей. Такая прямая может выходить из одной или обеих плоскостей, поэтому одной общей точки недостаточно для её выбора. Проверь, что прямая целиком лежит в каждой плоскости, например, обоснуй это через две общие точки.

Ошибка — не проверять, что плоскости различны. Это часто происходит, когда условие о различии считают очевидным по рисунку, хотя чертёж может быть условным. Проверь формулировку задачи: совпадающие плоскости имеют бесконечно много общих точек и не пересекаются по единственной прямой.

Связь с другими темами

Для работы со следствиями нужно знать аксиомы стереометрии, а также понятия точки, прямой и плоскости. Обозначения вроде A ∈ α показывают, что точка A принадлежит плоскости α; без них условия и выводы трудно записывать кратко. Изученные свойства пригодятся в доказательствах о взаимном расположении прямых и плоскостей.

При решении задач на сечения многогранников важно находить точки, принадлежащие сразу двум граням, и проводить через них линии. Следствия о принадлежности прямой плоскости помогают обосновать, что найденный отрезок действительно лежит в нужной грани. Это позволяет строить сечение как набор обоснованных линий, а не как догадку по изображению.

Что запомнить

• Две точки прямой, принадлежащие плоскости, влекут принадлежность ей всей прямой.
• Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой.
• Линия пересечения состоит из точек, принадлежащих обеим плоскостям.
• В доказательстве принадлежности прямой плоскости нужны две точки этой прямой.
• Следствия из аксиом используют вместе с аксиомами, а не вместо обоснования.