§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Такое определение важно, потому что в пространстве не пересекающиеся прямые не обязательно параллельны: они могут быть скрещивающимися. Совпадающие прямые обычно не считают параллельными, поскольку у них бесконечно много общих точек.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, но параллельными не являются: для параллельности необходима общая плоскость. Это понятие помогает описать взаимное расположение прямых в пространстве, которое невозможно на обычном плоском чертеже.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек; это обозначают a ∥ α. При этом прямая не лежит в плоскости и не пересекает её. Определение нужно, чтобы отличать параллельность от случая, когда прямая просто не пересекает какую-либо одну прямую, выбранную в плоскости.

Как это устроено

В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если они пересекаются, через них можно провести плоскость; если они параллельны, общая плоскость тоже существует. Скрещивающиеся прямые не удаётся поместить в одну плоскость, поэтому отсутствие пересечения само по себе не даёт основания говорить о параллельности.

Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Причина в том, что направление каждой из них совпадает с направлением общей прямой, а две различные прямые одного направления в пространстве лежат в одной плоскости. Свойство удобно в доказательствах: вместо прямого сравнения двух линий достаточно показать, что обе параллельны одной известной прямой.

Если прямая не лежит в плоскости и параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна всей плоскости. Действительно, общая плоскость с выбранной прямой не может пересечь исходную прямую: иначе параллельные прямые пересеклись бы. Кроме того, возможная точка пересечения исходной прямой с заданной плоскостью должна была бы лежать на линии пересечения двух плоскостей, то есть на выбранной прямой; это также невозможно.

Чтобы установить, что прямая параллельна плоскости, найди в этой плоскости прямую, параллельную данной, а затем проверь, что исходная прямая плоскости не принадлежит. Тогда выполнены оба условия признака, и вывод следует без проверки каждой точки плоскости отдельно. Например, в геометрической задаче подходящую прямую часто удаётся получить из теоремы о средней линии треугольника.

Параллельность прямой и плоскости означает отсутствие общих точек со всей плоскостью, а не только с одной выбранной прямой внутри неё. Прямая может не пересекать одну линию плоскости, но пересечь другую в точке, которая тоже принадлежит плоскости. Поэтому для доказательства используют признак: параллельная плоскости прямая должна быть параллельна линии, лежащей в этой плоскости, и сама не должна в ней лежать.

Взаимное расположение прямых и прямой с плоскостью

В таблице собраны основные случаи и их признаки. При классификации прямых сначала выясни, есть ли общие точки, а если их нет — проверь, лежат ли прямые в одной плоскости. Для пары «прямая и плоскость» отдельно различай отсутствие общих точек и принадлежность прямой плоскости.

Разбор задач

Даны прямые a и b, параллельные прямой c. Докажите, что a ∥ b, если a и b различны. Сначала используем, что обе прямые имеют одно направление, и проверим, можно ли считать их параллельными именно в пространстве. Решение:

1. Так как a ∥ c, прямые a и c лежат в некоторой плоскости; аналогично, b и c лежат в одной плоскости.
2. Через две различные параллельные прямые a и c проходит плоскость, и в ней лежит всякая прямая, параллельная c. Значит, b также лежит в этой плоскости.
3. Прямые a и b различны и обе параллельны c, поэтому они не пересекаются. Они лежат в одной плоскости, следовательно, параллельны.

Ответ: a ∥ b. Здесь различие a и b исключает совпадение, а общая плоскость отличает параллельность от скрещивания.

В тетраэдре ABCD докажите, что прямая через середины AB и AC параллельна плоскости BCD. Обозначим середины отрезков AB и AC точками M и N. Нужно сначала связать MN со стороной треугольника, лежащей в заданной плоскости, а затем проверить условие о принадлежности плоскости.

1. Точки M и N — середины двух сторон треугольника ABC. По теореме о средней линии MN ∥ BC.
2. Прямая BC лежит в плоскости BCD, значит, MN параллельна прямой этой плоскости.
3. Плоскости ABC и BCD пересекаются по прямой BC. Если бы MN лежала в плоскости BCD, она лежала бы и в ABC, а значит, совпала бы с линией BC или пересекла бы её; это невозможно, поскольку MN ∥ BC и не совпадает с BC.

Ответ: MN ∥ плоскости BCD по признаку параллельности прямой и плоскости. Серединная линия не лежит на BC, поэтому условие о том, что MN не принадлежит плоскости BCD, выполнено.

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение прямых AB и CC₁. Для параллельности прямых потребовалась бы общая плоскость и отсутствие пересечения. Проверим оба обстоятельства, используя основание параллелепипеда ABCD.

1. Прямая AB лежит в плоскости основания ABCD, а CC₁ пересекает эту плоскость в точке C.
2. Точка C не принадлежит прямой AB, поэтому AB и CC₁ не пересекаются.
3. Если бы эти прямые лежали в одной плоскости, её пересечение с плоскостью основания было бы прямой AB. Тогда точка C, принадлежащая CC₁ и основанию, должна была бы лежать на AB, что неверно.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые. Они не пересекаются, но общей плоскости не имеют, поэтому называть их параллельными нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Её допускают, когда переносят свойства фигур на плоскости на пространство и забывают о скрещивании. Проверь себя: если общих точек нет, установи, можно ли провести одну плоскость через обе прямые.

Ошибка: называть прямую параллельной плоскости, не проверив, не лежит ли она в ней. Так бывает, если замечают параллельность прямой некоторой линии плоскости и сразу применяют признак. Проверь принадлежность отдельно: прямая, целиком лежащая в плоскости, имеет с ней бесконечно много общих точек.

Ошибка: делать вывод о параллельности плоскости только потому, что прямая не пересекает одну выбранную в ней прямую. Такая проверка относится лишь к паре прямых, тогда как плоскость содержит множество других прямых. Для самопроверки найди в плоскости прямую, параллельную исходной, и проверь, что исходная прямая не лежит в плоскости.

Ошибка: без дополнительных условий заключать, что две прямые, параллельные одной прямой, параллельны друг другу. Путаница возникает, если не учитывать совпадение линий или не проверять, что рассуждение относится к прямым в пространстве. Уточни, что рассматриваемые прямые различны, и используй свойство о параллельных прямых, а не только их общее направление.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся понятия прямой, плоскости и принадлежности точки геометрическому объекту, а также свойства параллельных прямых на плоскости. Они позволяют проверять, существуют ли общая плоскость и общие точки. Далее признаки параллельности прямой и плоскости пригодятся при изучении параллельных плоскостей и взаимного расположения прямых с плоскостями. Эти знания применяются и в задачах о многогранниках, где нужно обосновывать расположение рёбер и плоскостей граней.

Что запомнить

• Параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые могут быть скрещивающимися.
• Если две различные прямые параллельны одной прямой, то они параллельны друг другу.
• Если прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.
• Для доказательства a ∥ α достаточно найти в α прямую, параллельную a, и установить, что a не лежит в α.