1.1. Параллельные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Компланарные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости. Это слово описывает именно расположение прямых в пространстве: на чертеже они могут выглядеть по-разному, но вопрос в том, существует ли одна плоскость, содержащая их обе. Понятие нужно, чтобы отличить параллельные прямые от скрещивающихся.

Параллельные прямые — различные компланарные прямые, которые не пересекаются. Записывают: a ∥ b. Условия «различные», «лежат в одной плоскости» и «не имеют общей точки» работают вместе, поэтому одной непересекаемости недостаточно.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются: если бы у них была общая точка, через эту точку и обе прямые можно было бы провести плоскость. Это понятие позволяет назвать третий вариант расположения двух прямых в пространстве.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве к этим вариантам добавляются скрещивающиеся прямые, потому что прямые могут находиться в разных плоскостях. Например, у многогранника два ребра могут не иметь общей точки и при этом не принадлежать одной грани или иной общей плоскости. Значит, проверка пересечения ещё не даёт ответа о параллельности.

Чтобы определить взаимное расположение двух прямых, сначала выясняют, есть ли у них общая точка. Если есть, прямые пересекаются; если нет, проверяют, можно ли провести через них одну плоскость. При наличии такой плоскости прямые параллельны, а при её отсутствии — скрещиваются. Так каждый случай определяется не по виду рисунка, а по геометрическим условиям.

Две различные параллельные прямые определяют плоскость: через обе можно провести плоскость, и такая плоскость только одна. Это объясняется тем, что параллельные прямые имеют общее направление и расположены в одной плоскости; две разные плоскости не могут содержать обе эти прямые. Единственность важна в доказательствах: установив общую плоскость для параллельных прямых, можно рассуждать о них как о прямых на плоскости.

Теорема утверждает: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Например, из a ∥ c и b ∥ c следует a ∥ b. Теорема позволяет доказывать параллельность без непосредственного поиска общей плоскости, но условия должны относиться к одной и той же прямой c.

Обоснование связано с плоскостью, содержащей параллельные прямые. Через a и c проходит единственная плоскость; прямые b и c также лежат в одной плоскости. Если a и b различны, их общее направление задаёт плоскость, содержащую обе прямые; единственность плоскости через две различные параллельные прямые исключает разные варианты их взаимного расположения. Поэтому a и b не пересекаются и компланарны, то есть параллельны. Если бы a и b совпали, они не были бы различными, поэтому в формулировке теоремы подразумеваются различные прямые a и b.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала найдите строку, соответствующую известному положению прямых, а затем сверьте оба признака. Таблица показывает, почему для параллельности важны сразу компланарность и отсутствие пересечения. Для скрещивающихся решающим признаком служит отсутствие общей плоскости.

Разбор задач

Рёбра куба

Условие: по изображению куба требуется определить, как расположены прямые, содержащие два заданных ребра. Названия рёбер в условии не указаны, поэтому разберём способ, который подходит для любой пары. Не следует решать задачу только по тому, как линии выглядят на рисунке: изображение объёмного тела плоское.

1. Проверяем, имеют ли прямые общую точку. Если да, они пересекаются.
2. Если общей точки нет, проверяем, лежат ли рёбра на одной грани или в другой общей плоскости. Если да, прямые параллельны; если нет, они скрещиваются.
3. Сверяем вывод с расположением вершин и рёбер куба, а не только с направлением отрезков на чертеже.

Такой ход рассуждений разделяет два нужных вопроса: пересекаются ли прямые и компланарны ли они. Ответ для конкретной пары зависит от того, какие именно рёбра заданы; метод позволяет классифицировать любую пару.

Две прямые параллельны третьей

Условие: даны прямые a, b и c, причём a ∥ c и b ∥ c. Требуется доказать, что a ∥ b. Недостаточно просто заметить, что у a и b одно направление: в пространстве нужно учесть также расположение в плоскости. Используем теорему о двух прямых, параллельных одной и той же прямой.

1. Из a ∥ c следует, что a и c — различные прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
2. Из b ∥ c следует то же для b и c. Обе исходные параллельности относятся к одной прямой c.
3. По теореме о двух прямых, параллельных третьей, получаем a ∥ b. Теорема устанавливает не только отсутствие пересечения, но и компланарность прямых.

Ответ: a ∥ b. Если в задаче отдельно требуется пояснить, почему a и b не пересекаются, можно предположить обратное: при пересечении они образовали бы плоскость, в которой через точку пересечения проходили бы две различные прямые, параллельные c, что невозможно. Следовательно, пересечения нет, а теорема обеспечивает общую плоскость.

Средняя линия треугольника

Условие: в тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и AC. Нужно определить взаимное расположение прямых MN и BC и обосновать ответ. Все три точки M, N и B, C принадлежат грани ABC. Поэтому достаточно применить известную теорему планиметрии к треугольнику ABC.

1. Рассматриваем треугольник ABC. По условию M — середина AB, а N — середина AC.
2. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. По теореме о средней линии MN ∥ BC.
3. Прямые MN и BC различны и лежат в плоскости ABC; следовательно, в пространстве они параллельны.

Ответ: MN ∥ BC. Указание общей плоскости делает доказательство полным: теорема о средней линии даёт параллельность внутри грани, а эта грань является плоскостью обеих прямых. Ребро AD на вывод не влияет, поскольку точки задачи расположены в грани ABC.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Её допускают, перенося на пространство правило, привычное для плоскости; при этом забывают о скрещивающихся прямых. Проверьте себя: помимо отсутствия общей точки, установите, что обе прямые лежат в одной плоскости.

Ошибка: называть скрещивающимися все прямые, которые не пересекаются. Так делают, если проверяют только наличие общей точки и не ищут плоскость, содержащую обе прямые. Проверьте, нельзя ли поместить их в одну плоскость: если можно, они параллельны, а не скрещиваются.

Ошибка: считать совпадающие прямые параллельными. На чертеже две прямые могут сливаться, и тогда легко забыть, что определение требует различных прямых. Уточните, обозначают ли записи две разные прямые; совпадающая пара имеет общие точки и параллельной не считается.

Ошибка: применять теорему о параллельных прямых, не проверив условие. В рассуждении может оказаться, что a параллельна одной прямой, а b — другой, или что общей третьей прямой вовсе нет. Перед выводом запишите обе предпосылки в виде a ∥ c и b ∥ c с одной и той же c.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое прямая и плоскость, и уметь определять, принадлежат ли им точки и прямые. Эти понятия помогают проверить, можно ли считать две прямые компланарными. Без них нельзя отличить параллельность от скрещивания.

Тема продолжает изучение параллельности прямых на плоскости и переносит знакомое понятие в пространство. Она понадобится при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей: для доказательств важно устанавливать, в какой плоскости находятся рассматриваемые объекты. Так пространственные задачи связываются с планиметрическими.

Скрещивающиеся прямые встречаются при изучении многогранников. Понятие помогает анализировать рёбра и строить сечения, а также определять взаимное расположение элементов, не лежащих на одной грани. В таких задачах особенно полезно отдельно проверять пересечение и компланарность.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• В пространстве непересекающиеся прямые не обязательно параллельны.
• Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются.
• Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
• Для доказательства параллельности в пространстве важно установить компланарность прямых.