4. Параллельные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их обозначают так: a ∥ b. Оба условия нужны, чтобы отличить параллельность от скрещивания.

Скрещивающиеся прямые — прямые, не лежащие в одной плоскости. Они не пересекаются, но параллельными не являются, потому что не выполняется условие принадлежности одной плоскости. Такой случай возможен только в пространстве.

Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых. Они имеют одинаковое направление, но их длины могут быть разными. Поэтому знак параллельности нельзя заменять знаком равенства.

Общие точки прямых — точки, принадлежащие обеим прямым. Две различные прямые могут иметь не более одной общей точки: если бы они имели две общие точки, то совпали бы с единственной прямой, проходящей через эти точки. Это помогает отличать пересекающиеся прямые от совпадающих.

Как это устроено

Для параллельности в пространстве недостаточно одного условия: прямые должны и лежать в одной плоскости, и не иметь общих точек. Если прямые не пересекаются, но находятся в разных плоскостях, они скрещиваются. Если же они находятся в одной плоскости, то отсутствие общей точки уже даёт обычную плоскую параллельность.

Пусть дана прямая a и точка M, не принадлежащая ей. Прямая a и точка M задают плоскость α, потому что через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость. В плоскости α по теореме о параллельных прямых можно провести через M прямую b, такую что b ∥ a.

Проведённая прямая единственна не случайно. Если бы через M проходили две различные прямые, параллельные a, то обе они лежали бы в плоскости α. Но аксиома параллельных прямых на плоскости утверждает, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Рассмотрим прямые a и b, для которых a ∥ c и b ∥ c. Возьмём точку на b и проведём через неё в плоскости, содержащей a и эту точку, прямую, параллельную a: она будет параллельна и c. По единственности параллельной прямой эта построенная прямая совпадёт с b, поэтому a и b лежат в одной плоскости; пересечься они также не могут, иначе через общую точку проходили бы две разные прямые, параллельные c.

Отличать параллельные прямые от скрещивающихся нужно по их расположению, а не только по отсутствию пересечения. Сначала ищут плоскость, содержащую обе прямые, например грань или плоскость, заданную прямой и точкой. Только после подтверждения копланарности можно использовать непересечение как признак параллельности.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала определите, можно ли поместить обе прямые в одну плоскость. Затем проверьте, есть ли у них общая точка. Такая последовательность не позволяет принять скрещивающиеся прямые за параллельные.

Разбор задач

Задача 1. Куб

В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ определить, параллельны ли прямые AB и CD. Нужно не ограничиваться тем, что рёбра выглядят одинаково направленными. Следует назвать плоскость и использовать свойство её фигуры.

1. Прямые AB и CD лежат в одной плоскости ABCD, являющейся гранью куба.
2. Четырёхугольник ABCD — квадрат, поэтому его противоположные стороны AB и CD параллельны.
3. Следовательно, в пространстве эти прямые также лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: AB ∥ CD. Основанием служит не внешний вид куба, а принадлежность обеих прямых плоскости ABCD и свойство противоположных сторон квадрата.

Задача 2. Тетраэдр

В тетраэдре ABCD определить взаимное расположение прямых AB и CD. Прямая AB лежит в гранях ABC и ABD, а прямая CD — в гранях ACD и BCD. Общей вершины у этих рёбер нет.

1. Предположим, что AB и CD лежат в одной плоскости α.
2. Плоскость α содержит точки A и B, значит, она должна совпадать с плоскостью ABC, так как через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.
3. Но точка C принадлежит плоскости ABC, а прямая CD содержит точку D, не лежащую в этой плоскости. Поэтому CD не может целиком лежать в α.

Предположение неверно: прямые AB и CD не являются компланарными. Они не пересекаются и потому являются скрещивающимися.

Задача 3. Параллельность через третью прямую

Даны прямые a, b и c: a ∥ c, b ∥ c. Докажем, что a ∥ b. Важно показать не только одинаковое направление, но и нахождение прямых в одной плоскости.

1. Возьмём точку B на прямой b и проведём через неё прямую d, параллельную a.
2. Прямая a и точка B задают плоскость α, поэтому d лежит в α; поскольку a ∥ c, направление d совпадает с направлением c.
3. Прямые b и d проходят через одну точку B и обе параллельны c, значит, по единственности параллельной прямой b совпадает с d.
4. Следовательно, b лежит в α, как и a, а пересечься с a не может, иначе две прямые, параллельные c, имели бы общую точку.

Ответ: a ∥ b. Доказаны оба условия: прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Типичные ошибки

Считать любые непересекающиеся прямые параллельными — ошибка, потому что в пространстве существуют скрещивающиеся прямые. Её допускают, перенося плоское правило на объёмную фигуру. Проверьте, можно ли указать одну плоскость, содержащую обе прямые.

Считать прямые параллельными только потому, что они так выглядят на чертеже, ненадёжно. Изображение объёмной фигуры является условным и не доказывает копланарность. Назовите плоскость или используйте доказанное свойство рёбер и граней.

Путать параллельность отрезков с равенством их длин нельзя. Параллельность задаёт направление, а длина зависит от положения концов. Сравнивайте отдельно направление отрезков и отдельно их размеры.

Недостаточно сказать, что две прямые не пересекаются с третьей или друг с другом. Для вывода о параллельности нужно подтвердить, что рассматриваемые прямые лежат в одной плоскости. Если такого подтверждения нет, среди вариантов остаётся скрещивание.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, как задаётся плоскость и какие прямые на плоскости называют параллельными. Эти знания позволяют переносить плоские теоремы в пространственную ситуацию. Без них трудно обосновать копланарность прямых.

Понадобится умение распознавать пересекающиеся прямые и применять аксиому параллельных прямых. Она объясняет существование и единственность параллельной через заданную точку. Это свойство используется в доказательствах.

Тема служит основой для изучения параллельности прямой и плоскости, а также взаимного расположения плоскостей. В дальнейшем условия параллельности будут рассматриваться уже между объектами разных типов. Логика проверки останется прежней: анализ расположения и общих точек.

Что запомнить

• Параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Через точку вне данной прямой проходит единственная прямая, параллельная данной.
• Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой.
• Параллельные отрезки лежат на параллельных прямых, но не обязательно равны.