"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться, а прямая относительно плоскости — лежать в ней, пересекать её или не иметь с ней общих точек. Эти определения помогают точно описывать расположение объектов, даже если чертёж искажает перспективу. Главный инструмент темы — признак параллельности прямой и плоскости: достаточно найти в плоскости прямую, параллельную данной, и проверить, что исходная прямая не лежит в этой плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их общая плоскость отличает их от скрещивающихся прямых. Это определение нужно, чтобы не считать параллельными любые прямые, которые просто не встретились на чертеже.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. В пространстве они могут быть непересекающимися, но параллельными их назвать нельзя: для этого требуется общая плоскость. Понятие скрещивания позволяет описать случаи, которых нет на плоском чертеже.
Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней. Определение помогает отличать параллельность от принадлежности прямой плоскости.
Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку и лежат в одной плоскости. Через две такие прямые можно провести плоскость, причём точка пересечения принадлежит обеим. Это определение нужно, чтобы отличить пересечение от параллельности и скрещивания.
На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны, потому что обе уже принадлежат одной плоскости. В пространстве такого ограничения нет: прямые могут находиться в разных плоскостях и не встречаться. Поэтому для классификации проверяют два признака — есть ли общие точки и лежат ли прямые в одной плоскости. Если общая точка есть, прямые пересекаются; если её нет, общая плоскость отличает параллельные от скрещивающихся.
Признак параллельности прямой и плоскости формулируется так: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Почему это верно? Предположим, что исходная прямая всё же пересекает плоскость. Обе параллельные прямые тогда принадлежат плоскости, проходящей через них; её пересечение с заданной плоскостью содержит прямую из этой плоскости. Тогда точка пересечения исходной прямой с плоскостью должна принадлежать этой прямой в плоскости, что противоречит параллельности исходных прямых.
Взаимное положение прямой и плоскости можно установить по общим точкам. Если все точки прямой принадлежат плоскости, прямая лежит в ней. Если общей точкой является ровно одна точка, прямая пересекает плоскость; если общих точек нет, она параллельна плоскости. Других случаев для прямой и плоскости в пространстве нет.
Если прямая параллельна плоскости, общих точек у них нет по определению. Но проверять каждую точку прямой обычно не требуется: это бесконечное множество точек. Вместо такой проверки используют признак — находят параллельную прямую внутри плоскости и устанавливают, что исходная прямая в плоскости не лежит. Так вывод опирается на взаимное положение объектов, а не на вид рисунка.
Чтобы проверить две прямые на пространственном чертеже, удобно мысленно провести через них вспомогательную плоскость. Если она содержит обе прямые, то они пересекаются или параллельны; если общей плоскости провести нельзя, прямые скрещиваются. Например, у куба ребро нижнего основания и вертикальное ребро, не имеющее с ним общей вершины, могут быть скрещивающимися. Сам рисунок подсказывает вариант, но окончательное доказательство опирается на принадлежность рёбер граням куба.
В таблице сначала сравнивайте общие точки, затем проверяйте дополнительные условия: принадлежность одной плоскости или положение прямой относительно плоскости. Это помогает не спутать параллельные и скрещивающиеся прямые. Для прямой и плоскости отдельно выясняйте, лежит ли прямая в плоскости.
| Объекты | Взаимное положение | Общие точки | Дополнительное условие или признак |
|---|---|---|---|
| Две прямые | Пересекаются | Ровно одна | Лежат в одной плоскости |
| Две прямые | Параллельны | Нет | Лежат в одной плоскости |
| Две прямые | Скрещиваются | Нет | Не лежат в одной плоскости |
| Прямая и плоскость | Прямая лежит в плоскости | Бесконечно много | Каждая точка прямой принадлежит плоскости |
| Прямая и плоскость | Прямая пересекает плоскость | Ровно одна | Общая точка — точка пересечения |
| Прямая и плоскость | Прямая параллельна плоскости | Нет | Прямая вне плоскости параллельна прямой в ней |
Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите положение прямых, содержащих рёбра AB и CC₁. Проверим не только то, что эти рёбра не пересекаются, но и могут ли они принадлежать одной плоскости. Это позволяет отличить скрещивание от параллельности.
Прямая AB лежит в плоскости нижнего основания ABCD, а прямая CC₁ проходит через вершину C и не лежит в этой плоскости. Точка C принадлежит AB? Нет, значит прямые не пересекаются.
Если бы прямые AB и CC₁ лежали в одной плоскости, эта плоскость содержала бы прямую AB и точку C. Через AB и не лежащую на ней точку C проходит плоскость ABCD, но она не содержит CC₁.
Значит, общей плоскости у прямых нет. Они не пересекаются и не компланарны, то есть скрещиваются.
Ответ: прямые AB и CC₁ скрещиваются.
Задача 2. Прямая a находится вне плоскости α. В плоскости α проведена прямая b, параллельная a. Определите положение a относительно α. Нужно проверить условия признака, а не делать вывод только по изображению.
Из условия a параллельна b, а b лежит в плоскости α. Значит, в плоскости найдена прямая, параллельная исходной.
Также сказано, что a не лежит в α. Это условие исключает случай, когда a целиком принадлежит плоскости и имеет с ней общие точки.
Оба условия признака выполнены. Следовательно, a параллельна плоскости α и не имеет с ней общих точек.
Ответ: a ∥ α.
Задача 3. В тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AC и CD. Определите положение прямой MN относительно грани ABD. Ищем в плоскости грани прямую, параллельную MN, используя свойство средней линии треугольника.
Рассмотрим треугольник ACD. Точки M и N — середины его сторон AC и CD, поэтому MN является средней линией и параллельна AD.
Прямая AD лежит в плоскости грани ABD. Значит, MN параллельна прямой этой плоскости.
Точка N лежит на ребре CD и не принадлежит плоскости ABD, поэтому MN не лежит в плоскости грани. По признаку MN параллельна плоскости ABD.
Ответ: MN ∥ (ABD).
Считать любые две непересекающиеся прямые параллельными — ошибка: в пространстве они могут быть скрещивающимися. Её допускают, перенося на стереометрию привычное правило из планиметрии. Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости; если нет, они скрещиваются.
Называть прямую параллельной плоскости, не проверив, что она в ней не лежит, нельзя. Если прямая принадлежит плоскости, у них бесконечно много общих точек. Перед выводом отдельно установите, что прямая находится вне плоскости.
Применять признак без указания прямой в плоскости — значит пропустить необходимое условие. Иногда параллельность пытаются обосновать только внешним видом чертежа. Назовите прямую, лежащую в плоскости, и докажите, что она параллельна исходной.
Делать вывод о параллельности по одному рисунку ненадёжно: перспектива может изображать параллельные в пространстве отрезки непараллельными или наоборот. Причина ошибки — смешение условного изображения с доказательством. Проверьте вывод по определениям, свойствам фигур или признакам параллельности.
Для изучения темы нужны понятия прямой и плоскости, принадлежности точки этим объектам, а также знакомые из планиметрии пересечение и параллельность прямых. В пространстве к ним добавляется возможность скрещивания, поэтому важно проверять, лежат ли прямые в общей плоскости.
Дальше эти знания пригодятся при изучении параллельности плоскостей и построении сечений многогранников. Они помогают выбирать вспомогательные прямые и обосновывать взаимное расположение рёбер, диагоналей и граней в задачах.
Чем параллельные прямые в пространстве отличаются от скрещивающихся?
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
Могут ли две непересекающиеся прямые быть не параллельными?
Да. В пространстве такие прямые могут быть скрещивающимися, то есть не лежать в одной плоскости. Чтобы отличить их от параллельных, нужно проверить наличие общей плоскости.
Как понять, что прямая параллельна плоскости?
По определению, прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. На практике часто применяют признак: находят в плоскости прямую, параллельную данной, и убеждаются, что исходная прямая не лежит в плоскости.
Почему для признака параллельности прямая не должна лежать в плоскости?
Если прямая лежит в плоскости, у неё с плоскостью бесконечно много общих точек, поэтому она не параллельна ей по определению. Условие «не лежит» исключает этот случай и позволяет заключить, что общих точек нет.
Как использовать признак параллельности прямой и плоскости в задаче?
Укажите прямую в заданной плоскости и докажите, что она параллельна рассматриваемой прямой. Затем подтвердите, что рассматриваемая прямая не лежит в этой плоскости. По признаку она параллельна плоскости.
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости
