3. Некоторые следствия из аксиом

Определения и обозначения

Следствие из аксиом — утверждение, которое получают из аксиом логическим рассуждением. Аксиому принимают как исходное положение без доказательства, а следствие обязательно обосновывают. Поэтому в задаче нельзя просто сослаться на следствие, если ещё не установлено, что его условия выполнены.

Плоскость, проходящая через прямую и точку вне неё, содержит эту прямую и указанную точку, причём такая плоскость только одна. Условие «вне неё» означает, что точка не принадлежит прямой. Оно нужно, чтобы вместе с двумя точками прямой получить три точки, не лежащие на одной прямой.

Прямая, лежащая в плоскости, — это прямая, все точки которой принадлежат плоскости. Чтобы доказать это, достаточно найти две точки прямой в плоскости. Такое условие удобно проверять: оно позволяет перейти от отдельных точек к целой прямой.

Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, содержит обе эти прямые и является единственной. Пересекающиеся прямые имеют общую точку, поэтому их можно представить тремя точками, не лежащими на одной прямой. Это свойство используют, когда требуется определить плоскость по её элементам.

Как это устроено

Пусть дана прямая и точка вне неё. На прямой можно выбрать две различные точки: они вместе с внешней точкой не лежат на одной прямой, иначе внешняя точка оказалась бы на заданной прямой. По аксиоме через эти три точки проходит плоскость. Она содержит обе точки заданной прямой, а значит, содержит и всю прямую; тем самым получаем плоскость, проходящую через прямую и внешнюю точку.

Чтобы доказать единственность найденной плоскости, предположим, что есть ещё одна такая плоскость. Она тоже содержит две выбранные точки прямой и точку вне неё. По аксиоме через эти три точки проходит только одна плоскость, поэтому обе плоскости должны совпасть. Следовательно, никакой другой плоскости с теми же условиями быть не может.

Теперь возьмём две точки прямой, лежащие в некоторой плоскости. Предположим противное: прямая не целиком содержится в этой плоскости. Тогда на ней найдётся точка вне плоскости. Через исходную прямую и эту точку проходит единственная плоскость; но исходная плоскость тоже содержит прямую и ту же точку, ведь выбранная точка лежит в ней по предположению о непринадлежности прямой целиком. Получаются две плоскости через одну прямую и одну внешнюю точку, что противоречит доказанной единственности.

Пусть две прямые пересекаются в точке C. Выберем на первой точку A, отличную от C, а на второй — точку B, тоже отличную от C. Точки A и C задают первую прямую, а B не лежит на ней: иначе обе прямые совпали бы. Поэтому A, B и C не лежат на одной прямой, и по аксиоме через них проходит плоскость.

Эта плоскость содержит точки A и C, значит, в ней лежит первая прямая; по точкам B и C в ней лежит и вторая. Если бы существовала другая плоскость, проходящая через обе прямые, она содержала бы те же три точки A, B и C. Аксиома утверждает, что через такую тройку проходит ровно одна плоскость, поэтому плоскости совпадают. Так доказаны и существование, и единственность плоскости через пересекающиеся прямые.

Следствия аксиом о плоскостях

Читайте таблицу от условия к выводу и проверяйте, какое основание позволяет сделать переход. В средней строке важно не перепутать вывод: речь идёт о всей прямой, а не только о двух точках. В первых и третьих строках плоскость сначала задают тремя точками, а затем доказывают, что она содержит нужные прямые.

Разбор задач

Задача 1. Точки A и B лежат в плоскости α. Что можно заключить о прямой AB? Здесь важно выяснить, относится ли условие к двум точкам одной прямой и можно ли применить следствие о принадлежности прямой плоскости. Обозначение AB означает прямую, проходящую через точки A и B.

1. Точки A и B задают прямую AB.
2. Обе точки этой прямой принадлежат плоскости α по условию.
3. По следствию, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.

Ответ: прямая AB принадлежит плоскости α.

Задача 2. Даны прямая a и точка M, не лежащая на ней. Обосновать, что через a и M проходит ровно одна плоскость. В задаче нужно отдельно показать существование такой плоскости и её единственность. Для этого используем аксиому о трёх точках, не лежащих на одной прямой.

1. Выберем на a две различные точки A и B.
2. Точки A, B и M не лежат на одной прямой, поскольку M не принадлежит a. По аксиоме через них проходит единственная плоскость α.
3. Плоскость α содержит A и B, значит, содержит прямую a, и также содержит M. Любая другая плоскость через a и M содержала бы A, B и M, поэтому совпала бы с α.

Ответ: через a и M проходит ровно одна плоскость.

Задача 3. Прямые a и b пересекаются в точке C. На a выбрана точка A, отличная от C, а на b — точка B, отличная от C. Докажем, что через a и b проходит единственная плоскость. Сначала зададим плоскость тремя точками, затем проверим, что в ней находятся обе прямые.

1. Точки A и C принадлежат a, а B и C — b. Точка B не лежит на a, иначе прямые a и b совпали бы, поэтому A, B и C не лежат на одной прямой.
2. По аксиоме через A, B и C проходит единственная плоскость α.
3. В α лежат A и C, значит, в ней лежит a. В ней также лежат B и C, следовательно, в α лежит b. Любая плоскость через обе прямые содержала бы A, B и C и потому совпала бы с α.

Ответ: через пересекающиеся прямые a и b проходит ровно одна плоскость.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что одной общей точки прямой с плоскостью достаточно для вывода о принадлежности всей прямой. Так рассуждают, забывая, что прямая может пересекать плоскость только в этой точке. Проверьте себя: для применения следствия должны быть найдены две точки именно этой прямой, лежащие в плоскости.

Вторая ошибка — применять утверждение о плоскости через прямую и точку, не проверив, что точка находится вне прямой. Если точка лежит на прямой, три точки для аксиомы могут оказаться на одной прямой, и обоснование не сработает. Перед применением следствия явно укажите, что заданная точка не принадлежит прямой.

Третья ошибка — объявлять плоскость через пересекающиеся прямые единственной, не проверив положение выбранных точек. Обычно выбирают по одной точке на каждой прямой и точку пересечения, но нужно объяснить, почему они неколлинеарны. Если бы все три лежали на одной прямой, две исходные прямые совпали бы, а не пересекались только в одной точке.

Четвёртая ошибка — путать пересечение прямой и плоскости в одной точке с расположением всей прямой в плоскости. Одна общая точка означает только пересечение, если нет дополнительных условий. Чтобы проверить вывод, найдите две точки прямой в плоскости или докажите, что прямая определяется такими точками.

Связь с другими темами

Для доказательств нужны аксиомы стереометрии, прежде всего утверждение о единственной плоскости через три точки, не лежащие на одной прямой. Также важно различать принадлежность: запись о точке в прямой или плоскости не равнозначна простому пересечению фигур в одной точке. Следствия применяют при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей. Они помогают обосновывать, какие элементы входят в плоскость сечения многогранника, а не только угадывать это по чертежу.

Что запомнить

• Через прямую и точку вне неё проходит ровно одна плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Через две пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость.
• Для доказательства принадлежности прямой плоскости достаточно проверить принадлежность двух её точек.
• Единственность плоскости обосновывают через аксиому о трёх точках, не лежащих на одной прямой.