5. Параллельность трех прямых

Определения и обозначения

Параллельными прямыми в пространстве называют прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые a и b параллельны, пишут a ∥ b. Условие об одной плоскости здесь обязательно: без него отсутствие пересечения ещё ничего не говорит о параллельности.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Они не являются параллельными, хотя на чертеже могут выглядеть так, будто идут рядом. Это понятие помогает описывать положение прямых, когда их нельзя поместить в одну плоскость.

Параллельность двух прямых в пространстве нельзя установить только по отсутствию общей точки: сначала нужно убедиться, что прямые компланарны, то есть лежат в одной плоскости. Если общей точки нет, но общей плоскости тоже нет, прямые скрещиваются. Такая проверка нужна, чтобы отличать параллельные прямые от скрещивающихся.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны, потому что они уже принадлежат одной плоскости. В пространстве появляется ещё одна возможность: прямые могут находиться в разных плоскостях и не встречаться. Поэтому отсутствие общей точки не позволяет сразу сделать вывод о параллельности; нужно проверить, существует ли плоскость, содержащая обе прямые.

Теорема о параллельности трёх прямых утверждает: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Например, если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b. Это свойство переносит знакомое представление о параллельных направлениях на пространственные задачи, но вывод о прямых опирается не только на внешний вид их направлений.

Идея доказательства связана с плоскостями. Проведём через a и c плоскость α, а через b и c — плоскость β: такие плоскости существуют, поскольку каждая пара параллельных прямых лежит в одной плоскости. Если α и β различны, они пересекаются по прямой, проходящей через общую для них прямую c. В каждой плоскости единственная прямая через точку c, параллельная c, совпадает с c; значит, α и β не могут дать различные направления для a и b, и в итоге обе прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В задаче о пространственной фигуре сначала ищут прямую, с которой можно сравнить обе нужные прямые. Затем по свойствам граней или рёбер доказывают, что каждая из них параллельна этой общей прямой, и применяют теорему. Такой ход особенно полезен, когда рассматриваемые прямые находятся в разных гранях многогранника.

Обратное рассуждение нельзя делать автоматически. Из того, что a ∥ b, не следует, что произвольная прямая c тоже параллельна им: она может пересекать одну из прямых или быть скрещивающейся с ними. Чтобы сравнить c с a и b, нужно отдельно установить, что c параллельна одной из них, и лишь затем использовать теорему или свойства параллельных прямых.

Положение двух прямых в пространстве и проверка параллельности

Сначала проверь, есть ли у прямых общая точка, а затем — можно ли провести одну плоскость через обе. Только сочетание «одна плоскость, нет общей точки» означает параллельность. Последняя строка таблицы показывает способ доказательства параллельности через третью прямую.

Разбор задач

Задача 1. В пространстве прямые a и b параллельны прямой c. Определите взаимное положение a и b. Важно использовать именно общую для обеих прямую c, а не просто сравнить направления на рисунке. Требуется сделать вывод по теореме.

1. Запишем данные задачи: a ∥ c и b ∥ c.
2. Применим теорему о двух прямых, параллельных одной и той же прямой.
3. Получим, что a ∥ b; если прямые различны, у них нет общей точки.

Ответ: прямые a и b параллельны. Вывод следует из теоремы, а не из того, как они изображены. Если в условии допускается совпадение прямых, это нужно оговорить отдельно.

Задача 2. В тетраэдре требуется установить параллельность выбранных прямых, используя параллельность рёбер одной грани. Например, пусть в основании ABCD лежит параллелограмм, а боковая вершина — S; докажем, что AB ∥ CD. Такая формулировка позволяет опереться на известное свойство основания и применить общую идею теоремы. Сначала найдём прямую, параллельную обеим.

1. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны, поэтому AB ∥ CD.
2. Если нужно использовать теорему о третьей прямой, выбираем прямую c, параллельную обеим сторонам, и отдельно обосновываем каждую параллельность.
3. Применяем теорему только после этих двух обоснований; одного вида тетраэдра на рисунке недостаточно.

Ответ: AB ∥ CD, поскольку это противоположные стороны параллелограмма ABCD. В общем случае в тетраэдре нельзя без дополнительных условий утверждать параллельность рёбер. Нужно указать основание или другие данные, которые её доказывают.

Задача 3. В призме нужно доказать параллельность двух прямых, заданных рёбрами или диагоналями граней. Названия рёбер зависят от конкретной призмы, поэтому обозначим рассматриваемые прямые a и b. Задача сводится к поиску вспомогательной прямой c, параллельной каждой из них.

1. Из свойств параллельных оснований или боковых граней выбираем прямую c, связанную с прямой a.
2. Доказываем a ∥ c, затем отдельно устанавливаем b ∥ c по свойствам соответствующей грани или диагонали.
3. По теореме о двух прямых, параллельных одной прямой, заключаем, что a ∥ b.

Ответ: прямые a и b параллельны, если оба шага сравнения с c доказаны. При выборе другой призмы нужно назвать конкретные рёбра и обосновать каждое использованное свойство. Рисунок может подсказать вспомогательную прямую, но не заменяет доказательство.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые две прямые без общей точки параллельными. Так рассуждают по аналогии с планиметрией, забывая о скрещивающихся прямых в пространстве. Проверь, можно ли провести одну плоскость через обе прямые: если нельзя, они скрещиваются.

Ошибка — применять теорему, не назвав третью прямую, параллельную обеим рассматриваемым. Иногда кажется, что достаточно общего направления на рисунке, но это не является доказательством. Для самопроверки запиши обе предпосылки: a ∥ c и b ∥ c.

Ошибка — путать параллельность направлений с параллельностью самих прямых. Даже прямые одного направления могут находиться в разных плоскостях, поэтому в пространстве необходимо учитывать компланарность. Проверь, следует ли из данных, что обе прямые лежат в одной плоскости, или установи параллельность через теорему.

Ошибка — делать вывод только по чертежу. Изображение пространственной фигуры на листе может искажать углы, длины и взаимное положение прямых, поэтому скрещивающиеся линии иногда выглядят параллельными. Сверь вывод со свойствами граней и запиши доказательство, которое не зависит от вида рисунка.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия плоскости и взаимного положения прямых: пересекающихся, параллельных и скрещивающихся. Теорема опирается на свойства параллельных прямых, изученные в планиметрии, но требует учитывать пространство. Она помогает доказывать параллельность рёбер и диагоналей в призмах и параллелепипедах.

Установление параллельности прямых также служит инструментом в задачах о взаимном положении прямой и плоскости. В частности, теорема используется при доказательстве параллельности плоскостей: часто сначала находят две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельные прямым другой плоскости. Поэтому навык обосновывать параллельность через общую прямую пригодится в дальнейшей стереометрии.

Что запомнить

• Параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Две прямые без общей точки могут быть скрещивающимися.
• Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.
• Для применения теоремы укажи прямую, которой параллельны обе рассматриваемые прямые.
• Рисунок помогает увидеть положение прямых, но не заменяет доказательства.