5. Параллельность трех прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Это определение нужно, чтобы отличать параллельность от простого отсутствия общей точки: в пространстве прямые могут не пересекаться и при этом не лежать в одной плоскости.

Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. Символ показывает взаимное расположение двух прямых, а не их длину или положение на рисунке. Обозначение удобно использовать, чтобы кратко записывать условия задачи и выводы доказательства.

Параллельность трёх прямых — конфигурация, в которой две прямые параллельны одной и той же третьей. Например, если a ∥ c и b ∥ c, то прямая c служит общей для них. Такая конфигурация позволяет применить теорему и установить связь между a и b.

Как это устроено

Теорема о параллельности трёх прямых утверждает: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Причина в том, что параллельность означает совпадение направления прямых, а общая третья прямая задаёт это направление для обеих. Поэтому две прямые не могут пересечься, иначе через точку пересечения проходили бы две различные прямые, параллельные одной и той же прямой.

Условие теоремы записывают как a ∥ c и b ∥ c, а заключение — как a ∥ b. Такое разделение помогает увидеть ход доказательства: сначала должны быть известны две параллельности, и только затем делается вывод о третьей. Если поменять условие и вывод местами, получится другое утверждение, которое не следует из данной теоремы.

Почему прямые a и b оказываются параллельны: обе имеют одно направление, заданное прямой c, и могут быть расположены в одной плоскости. Чтобы увидеть это без рисунка, возьмём точку на b и проведём через неё плоскость, содержащую a. В этой плоскости через выбранную точку проходит ровно одна прямая, параллельная a; так как b также проходит через эту точку и параллельна a, она совпадает с этой прямой.

Для доказательства используют единственность прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку. Если бы b не лежала в плоскости, содержащей выбранную точку и a, она всё равно проходила бы через эту точку и была бы параллельна a. Но в этой плоскости уже есть единственная такая прямая, поэтому b должна совпасть с ней. Так получают общую плоскость и подтверждают оба условия определения параллельности.

Теорема относится к прямым в пространстве: для её применения не требуется заранее сообщать, что a и b лежат в одной определённой плоскости. Это особенно полезно в задачах о пространственных фигурах, где нужные рёбра находятся в разных гранях. Однако доказать, что они параллельны, всё равно нужно: теорема не превращает любые непересекающиеся прямые в параллельные.

Условия и вывод теоремы о параллельности трёх прямых

Пользуйтесь таблицей как схемой доказательства: проверьте, что установлены обе предпосылки, и лишь затем укажите заключение. Буква, обозначающая общую прямую, может быть любой, но в условии она должна быть одной и той же.

Разбор задач

Задача 1. Дано: a ∥ c и b ∥ c. Определите взаимное расположение прямых a и b.

1. Сопоставим данные задачи с условием теоремы: обе прямые a и b параллельны одной прямой c.
2. Значит, выполнены обе предпосылки теоремы о параллельности трёх прямых. По ней a ∥ b.

Ответ: прямые a и b параллельны. Здесь не нужно дополнительно искать точку пересечения или строить плоскость: теорема уже даёт нужный вывод.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что прямые AB и C₁D₁ параллельны, используя ребро, параллельное каждой из них.

1. Сначала ищем общее ребро. В нижнем основании куба AB ∥ CD, потому что ABCD — квадрат.
2. Верхнее основание C₁D₁D C параллельно нижнему, а соответствующие рёбра CD и C₁D₁ параллельны. Получаем C₁D₁ ∥ CD.
3. Теперь обе нужные прямые параллельны CD. По теореме о параллельности трёх прямых AB ∥ C₁D₁.

Ответ: AB ∥ C₁D₁. Общим ребром здесь оказалось CD: именно его следовало найти, чтобы применить теорему.

Задача 3. Даны прямые a, b и c, причём a ∥ c. Можно ли заключить, что a ∥ b, если известно только, что b не пересекает c? Обоснуйте ответ.

1. Сверим сведения с условием теоремы. Известно a ∥ c, но про b сказано только, что оно не пересекает c.
2. Такого факта недостаточно: b может быть скрещивающейся с c, то есть не лежать с ней в одной плоскости. Тогда условие b ∥ c не выполнено.
3. Следовательно, теорему применить нельзя, а параллельность a и b не доказана. Для вывода нужно дополнительно установить, что b ∥ c.

Ответ: нет, заключить a ∥ b нельзя. Непересечение прямых не заменяет условие их параллельности.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые две прямые, которые не пересекаются в пространстве. Так рассуждают, перенося привычное свойство плоских фигур на пространство, где существуют скрещивающиеся прямые. Проверьте себя: убедитесь, что прямые лежат в одной плоскости; одного отсутствия точки пересечения недостаточно.

Ошибка: делать вывод о параллельности a и b, зная только, что обе не пересекают c. Непересечение не задаёт направления и не гарантирует, что прямые лежат с c в одной плоскости. Перед применением теоремы проверьте запись условий: нужны именно a ∥ c и b ∥ c.

Ошибка: путать параллельность прямых с равенством или пересечением отрезков, лежащих на них. Отрезки могут иметь разную длину и занимать разные участки параллельных прямых. Для проверки укажите прямые, содержащие отрезки, и рассматривайте их взаимное расположение отдельно от длины самих отрезков.

Ошибка: записывать заключение теоремы как a ∥ c или b ∥ c. Эти равенства уже входят в условие, а вывод сравнивает между собой a и b. Чтобы проверить запись, назовите предпосылки отдельно и посмотрите, какие две прямые должны быть связаны итогом доказательства.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать определение параллельных прямых, понимать, что такое плоскость, и пользоваться единственностью параллельной прямой, проходящей через заданную точку. Эти знания объясняют, почему прямые с общим направлением можно расположить в одной плоскости. Теорема пригодится при доказательстве параллельности в пространственных фигурах, а затем — при изучении параллельности прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b.
• Третья прямая задаёт общее направление двух параллельных ей прямых.
• В пространстве параллельные прямые обязательно лежат в одной плоскости.
• Отсутствие пересечения ещё не доказывает параллельность: прямые могут быть скрещивающимися.
• В выводе теоремы сравнивают между собой две прямые, параллельные одной и той же прямой.