6. Параллельность прямой и плоскости

Определения и обозначения

В пространстве прямая относительно плоскости может занимать три положения: лежать в ней, пересекать её в одной точке или не иметь с ней общих точек. В первом случае все точки прямой принадлежат плоскости, во втором — только точка пересечения. Это различение нужно, чтобы точно описывать взаимное расположение объектов, а не полагаться на вид чертежа.

Прямую называют параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Записывают a ∥ α: буквой a обозначена прямая, а греческой буквой α — плоскость. Определение помогает понять, что для параллельности недостаточно просто не видеть пересечения на рисунке: отсутствие общих точек требуется обосновать.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая не лежит в данной плоскости и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна плоскости. Условие позволяет заменить проверку всех точек на поиск одной подходящей прямой. Поэтому признак особенно удобен при решении задач о многогранниках.

Свойство параллельности: если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости найдётся прямая, параллельная данной. Оно утверждает, что направление прямой можно обнаружить и внутри плоскости. Это свойство помогает находить линии для применения признака, когда исходно дана параллельность прямой и плоскости.

Как это устроено

Прямую, лежащую в плоскости, не называют параллельной этой плоскости, потому что определение требует отсутствия общих точек. У лежащей в плоскости прямой каждая её точка одновременно принадлежит плоскости, то есть общих точек бесконечно много. Если бы такой случай тоже называли параллельностью, пришлось бы смешивать два разных положения: принадлежность плоскости и отсутствие пересечения с ней.

Признак работает благодаря свойству параллельных прямых: они не пересекаются. Пусть прямая a не лежит в плоскости α и параллельна прямой b, лежащей в α. Если бы a пересекала α, точка пересечения принадлежала бы плоскости и одновременно прямой b, поскольку a и b лежат в одной плоскости и параллельны. Тогда параллельные прямые a и b встретились бы, что невозможно; значит, a не пересекает α и параллельна ей.

Если a параллельна α, можно провести через a вспомогательную плоскость β, отличную от α. Плоскости α и β пересекаются по прямой, обозначим её c. Прямая c лежит в α, а также в β; в β лежит и a. Поскольку a не пересекает α, она не пересекает и c, поэтому в плоскости β прямые a и c параллельны. Так получают прямую в α, параллельную a.

В признаке нельзя пропустить условие, что b принадлежит именно рассматриваемой плоскости α. Параллельная a прямая, лежащая где-то в пространстве, сама по себе ничего не говорит о положении a относительно α. Нужно также проверить, что a не лежит в α: иначе у неё с плоскостью будут общие точки, и заключение о параллельности по определению неверно.

В пространственной фигуре сначала ищут прямую в нужной плоскости, направление которой совпадает с направлением исследуемой прямой. Например, в грани параллелепипеда это может быть ребро, параллельное заданному ребру. Затем проверяют, что исследуемая прямая не принадлежит этой грани, и применяют признак. Такой способ превращает наблюдение по чертежу в доказательство с явно указанными условиями.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Сначала определите число общих точек, а затем соотнесите ситуацию с одной из строк таблицы. Для доказательства параллельности используйте не только отсутствие видимого пересечения, но и признак из последнего столбца.

Разбор задач

Прямая и плоскость через неё параллельную прямую

Прямая a не лежит в плоскости α и параллельна прямой b, лежащей в α. Определите взаимное положение a и α. Здесь в условии уже названы обе прямые, поэтому нужно проверить, подходит ли их расположение под признак параллельности прямой и плоскости.

1. Установим первое условие признака: прямая a не лежит в плоскости α. Это прямо дано в условии задачи.
2. Проверим второе условие: прямая b параллельна a и лежит в α. Оба факта также указаны, поэтому b действительно является прямой, подходящей для признака.
3. Применим признак параллельности прямой и плоскости. Получаем, что a не имеет общих точек с α.

Ответ: a ∥ α.

Ребро тетраэдра и плоскость через середину

В тетраэдре ABCD требуется установить, параллельна ли AB плоскости, проходящей через C, D и середину M ребра AB. Не следует делать вывод по тому, как эти объекты нарисованы: достаточно проверить, принадлежит ли точка M плоскости. По условию плоскость проходит через M, а M лежит на AB.

1. Обозначим середину ребра AB буквой M. Поскольку M — середина AB, точка M принадлежит прямой AB.
2. Плоскость, проходящая через C, D и M, содержит точку M. Значит, прямая AB имеет с этой плоскостью хотя бы одну общую точку.
3. По определению параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек. Здесь это условие нарушено, поэтому AB не параллельна плоскости.

Ответ: AB пересекает заданную плоскость в точке M и не параллельна ей.

Ребро параллелепипеда и плоскость грани

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ нужно доказать, что AB параллельна плоскости A₁B₁C₁. Плоскость A₁B₁C₁ содержит ребро A₁B₁. Противоположные рёбра AB и A₁B₁ параллелепипеда параллельны, поэтому это ребро поможет применить признак.

1. Найдём в плоскости A₁B₁C₁ подходящую прямую. Ею является A₁B₁, поскольку обе её точки принадлежат этой плоскости.
2. В параллелепипеде AB ∥ A₁B₁. Кроме того, AB не лежит в плоскости A₁B₁C₁: вершина A не принадлежит этой плоскости.
3. Условия признака выполнены: AB не лежит в плоскости и параллельна прямой A₁B₁, лежащей в ней. Следовательно, AB параллельна плоскости A₁B₁C₁.

Ответ: AB ∥ плоскости A₁B₁C₁.

Типичные ошибки

Считать прямую, лежащую в плоскости, параллельной этой плоскости — значит забыть, что у них бесконечно много общих точек. Такое смешение возникает, когда слово «параллельный» понимают только как описание направления. Проверьте себя по определению: если общие точки есть, прямая не параллельна плоскости.

Иногда в доказательстве называют прямую, параллельную заданной, но не устанавливают, что она лежит в нужной плоскости. Из-за этого нельзя применить признак: важны оба условия, а не только параллельность прямых. Перед выводом укажите, какой именно плоскости принадлежит найденная прямая.

Видимый на чертеже параллелизм принимают за доказанный факт, потому что изображение кажется наглядным. Но пространственный рисунок может искажать углы и направления, а линии на нём не всегда сохраняют реальные отношения. Проверяйте параллельность по свойствам фигуры и данным условия, а не по внешнему виду.

Утверждения «a параллельна плоскости α» и «a параллельна некоторой прямой» не равнозначны без дополнительных условий. Ошибка возникает, когда из второй фразы сразу делают вывод о первой. Для проверки запишите полностью признак: параллельная прямая должна лежать в α, а сама a — не лежать в α.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужно знать, когда две прямые в пространстве параллельны, и уметь различать их взаимное расположение. Признак использует свойства параллельных прямых: если две такие прямые лежат в одной плоскости, они не пересекаются. Также пригодится факт, что две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую — он помогает находить прямую, параллельную заданной.

Доказательство параллельности прямой и плоскости часто встречается при исследовании граней и рёбер многогранников. Позднее эти рассуждения помогают изучать взаимное расположение плоскостей. Поэтому полезно не только запоминать признак, но и уметь находить прямую внутри заданной плоскости.

Что запомнить

• Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.
• Прямая, лежащая в плоскости, не параллельна ей.
• Если прямая вне плоскости параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.
• Для применения признака нужно указать прямую, лежащую в плоскости.
• Если прямая параллельна плоскости, в ней существует прямая, параллельная данной.
• Рисунка недостаточно для доказательства пространственной параллельности.