1.3. Параллельность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Записывают a ∥ α, где a — прямая, а α — плоскость. Такое определение позволяет отличить параллельность от пересечения: при пересечении общая точка есть, а при параллельности её нет.

В пространстве прямая может лежать в плоскости, пересекать её или быть параллельной ей. Если прямая лежит в плоскости, все её точки принадлежат плоскости; если пересекает — у них одна общая точка. Это разграничение необходимо, потому что совпадение части объектов не означает параллельности.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Иными словами, чтобы установить параллельность в пространстве, достаточно найти в плоскости одну подходящую прямую. Условие о том, что исходная прямая не лежит в плоскости, обязательно.

Как это устроено

Фраза «не имеет общих точек» исключает пересечение, ведь при пересечении прямая и плоскость имеют общую точку. Но сама по себе она не исключает случай, когда прямая лежит в плоскости: тогда общих точек не просто нет — их бесконечно много. Поэтому в определении параллельности объектов рассматривают расположение целиком, а три возможных случая различают отдельно.

Представьте плоскость α и лежащую в ней прямую b. Проведём прямую a параллельно b так, чтобы a не лежала в α. В плоскости через любую точку можно провести только одну прямую, параллельную заданному направлению; поскольку a находится вне α, она не может совпасть с такой прямой плоскости. Значит, a не встречает плоскость и параллельна ей.

Логику признака можно проверить от противного. Пусть a параллельна прямой b, лежащей в α, но всё же пересекает α в точке P. Через P в α можно провести прямую c, параллельную b; тогда c будет пересекать a в точке P. Получились бы две пересекающиеся прямые, параллельные одной и той же прямой b, что невозможно: через точку вне прямой проходит единственная параллельная ей прямая. Следовательно, a не пересекает α.

При применении признака сначала ищут в плоскости прямую, параллельную данной, а затем отдельно проверяют, что данная прямая не лежит в плоскости. Параллельность можно вывести из свойств граней, теоремы о средней линии или обратной теоремы Фалеса. Непринадлежность плоскости устанавливают по расположению элементов фигуры или другим доказанным фактам, но не по одному чертежу.

Пространственную задачу часто удаётся свести к плоской: несколько точек и прямых рассматривают в одной грани или другом сечении, где применимы привычные теоремы планиметрии. Например, в треугольной грани можно доказать параллельность двух отрезков, один из которых лежит в нужной плоскости. Затем признак переносит результат с пары прямых на прямую и всю плоскость.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Сначала определите, какой из трёх случаев возможен, и сопоставьте его с количеством общих точек. Для доказательства параллельности используйте последнюю строку: найдите прямую внутри плоскости и подтвердите оба условия признака. Таблица помогает не спутать параллельность с принадлежностью прямой плоскости.

Разбор задач

1. Куб ABCDA₁B₁C₁D₁

Докажите, что AB ∥ плоскости CDD₁. Здесь удобно воспользоваться геометрией нижнего основания куба: его противоположные рёбра параллельны. Нужно также убедиться, что AB не является прямой, лежащей в плоскости CDD₁.

1. В основании ABCD — квадрат, поэтому AB ∥ CD.
2. Прямая CD лежит в плоскости CDD₁, так как точки C и D принадлежат этой плоскости.
3. Прямая AB не лежит в плоскости CDD₁: она проходит через A, а A не принадлежит этой боковой грани.
4. По признаку параллельности прямой и плоскости AB ∥ CDD₁.

Ответ: AB параллельна плоскости CDD₁. Ключевой шаг — не только найти параллельное ребро CD, но и проверить непринадлежность AB плоскости.

2. Середины сторон в тетраэдре

В тетраэдре ABCD точки M и N — середины AB и AC. Докажите, что MN ∥ плоскости BCD. Рассмотрим грань ABC: именно в её плоскости находятся точки M, N и отрезок BC, с которым можно сравнить MN.

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон AB и AC.
2. По теореме о средней линии треугольника MN ∥ BC.
3. Прямая BC лежит в плоскости BCD, а MN не лежит в ней: M и N принадлежат грани ABC, но не принадлежат плоскости BCD.
4. По признаку MN ∥ плоскости BCD.

Ответ: MN параллельна плоскости BCD. Теорема о средней линии даёт параллельность в грани, а пространственный признак позволяет сделать вывод о плоскости целиком.

3. Пропорциональные отрезки в тетраэдре

В тетраэдре ABCD точка M лежит на AB, точка N — на AC, причём AM:MB = AN:NC. Докажите, что MN ∥ плоскости BCD. Отношение отрезков подсказывает, что нужно применить обратную теорему Фалеса в треугольнике ABC.

1. Точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC.
2. По условию они делят стороны пропорционально. По обратной теореме Фалеса MN ∥ BC.
3. Прямая BC принадлежит плоскости BCD. Прямая MN лежит в плоскости ABC и не совпадает с BC, поэтому не лежит в плоскости BCD.
4. Применяем признак параллельности: MN ∥ плоскости BCD.

Ответ: MN параллельна плоскости BCD. Сначала используется теорема в плоском треугольнике, а затем — признак для прямой и плоскости.

Типичные ошибки

Недостаточно показать, что прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости: первая прямая сама может лежать в этой плоскости. Такую ошибку допускают, если сразу применяют признак и забывают одно из его условий. Проверьте отдельно, что исходная прямая не принадлежит плоскости.

Не требуется доказывать параллельность данной прямой каждой прямой плоскости. Признак говорит о существовании хотя бы одной подходящей прямой, поэтому попытка рассмотреть все прямые только усложняет решение. Найдите один удобный отрезок или прямую в нужной плоскости и обоснуйте параллельность именно ему.

Чертёж показывает предполагаемое расположение, но сам по себе его не доказывает. Изображение может быть условным: параллельные линии на рисунке могут казаться непараллельными, а невидимые точки не всегда легко оценить. Проверяйте выводы по свойствам фигуры и теоремам, а не по внешнему виду схемы.

Прямая, лежащая в плоскости, не является параллельной этой плоскости по данному определению, потому что имеет с ней бесконечно много общих точек. Путаница возникает из-за привычного школьного определения параллельных прямых, у которых нет общих точек. Сначала выясните, сравниваете ли вы две прямые или прямую с плоскостью.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения параллельных и пересекающихся прямых и свойства параллельных прямых на плоскости. Пространственные рассуждения опираются на аксиомы стереометрии и на представления о взаимном расположении прямых и плоскостей. Поэтому многие доказательства начинаются с плоской грани многогранника, а заканчиваются применением пространственного признака.

Признак пригодится при доказательстве параллельности плоскостей и исследовании сечений многогранников. Он также помогает решать задачи на пространственные фигуры, когда известны отношения отрезков или параллельность рёбер. Плоские теоремы в таких задачах служат связующим шагом между элементами фигуры и всей плоскостью.

Что запомнить

• Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.
• Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной ей.
• Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, достаточно найти в плоскости параллельную данной прямую.
• В признаке обязательно условие: рассматриваемая прямая не лежит в плоскости.
• Параллельность на чертеже нужно обосновывать свойствами и теоремами.