§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые в пространстве имеют ровно одну общую точку и лежат в одной плоскости. Например, две стороны многоугольника могут встретиться в общей вершине. Условие об общей плоскости помогает отличить обычное пересечение от других пространственных случаев.

Параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости и не имеют общих точек; запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. Их направления совпадают, хотя сами прямые могут находиться на расстоянии друг от друга. Это понятие позволяет переносить свойства плоской геометрии на фигуры в пространстве.

Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, но и не являются параллельными: для параллельных прямых общая плоскость обязательна. Такое положение показывает, почему в пространстве недостаточно сравнить только направления или наличие общей точки.

Угол между прямыми — величина меньшего из углов, образованных пересекающимися прямыми, параллельными данным. Для пересекающихся прямых это один из углов при их пересечении, а для непересекающихся можно подобрать пересекающиеся параллельные им прямые. Значение угла находится от 0° до 90°, поэтому оно однозначно задаёт, насколько близки направления прямых.

Как это устроено

Для классификации двух прямых нужно проверить две вещи: есть ли у них общая точка и можно ли провести через них одну плоскость. Если точка есть, прямые пересекаются, и обе принадлежат плоскости, проходящей через них. Если общей точки нет, остаются два варианта: прямые компланарны и параллельны либо некомпланарны и скрещиваются. Так учитываются все возможные положения двух прямых в пространстве.

Непересечение само по себе не доказывает, что прямые параллельны: они могут оказаться скрещивающимися. Чтобы установить скрещивание, требуется показать, что прямые не лежат в одной плоскости. Например, можно рассмотреть плоскость, содержащую одну прямую, и проверить, что вторая не принадлежит ей. В пространственной фигуре такой вывод часто получают из расположения её рёбер и граней, а не только по внешнему виду рисунка.

Признак параллельности гласит: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Причина в том, что параллельность означает одинаковое направление, а одинаковое направление общей прямой совпадает с направлением обеих рассматриваемых прямых. Чтобы применить признак, сначала находят третью прямую и доказывают параллельность каждой из двух прямых ей. Затем делают вывод об их параллельности между собой; при этом важно, что речь идёт о прямых в пространстве.

У скрещивающихся прямых нет общей точки, поэтому угол между ними нельзя измерить прямо в месте пересечения. Через точку одной прямой проводят новую прямую, параллельную второй исходной прямой; теперь новая и первая прямые пересекаются, и угол между ними можно определить. Параллельная замена сохраняет направление второй прямой, а значит, угол показывает то же взаимное направление, что и у исходной пары. Выбрать можно и точку на другой прямой, поменяв местами роли прямых.

Выбор точки не влияет на угол, потому что через разные точки можно провести параллельные прямые одного и того же направления. Угол между таким направлением и второй прямой не меняется: соответствующие углы при параллельных прямых и секущей равны. При пересечении образуются два разных по величине угла, сумма которых равна 180°, поэтому один из них не больше 90°. Углом между прямыми по определению считают именно меньший угол, что устраняет неоднозначность.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйся таблицей по двум признакам: сначала выясни, пересекаются ли прямые, затем проверь, можно ли поместить их в одну плоскость. Если общей точки нет, именно второй признак позволяет выбрать между параллельностью и скрещиванием. На рисунке вывод лучше обосновать свойствами фигуры, а не только тем, как изображены линии.

Разбор задач

Прямые AB и BB₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

Определим взаимное расположение рёбер AB и BB₁. В кубе AB — ребро нижней грани, а BB₁ — вертикальное ребро, выходящее из вершины B. Чтобы классифицировать прямые, сначала ищем общие точки, а затем при необходимости проверяем плоскость.

1. Находим, что точка B принадлежит и прямой AB, и прямой BB₁. Следовательно, у этих прямых есть общая точка.
2. Прямые AB и BB₁ различны, поэтому они пересекаются ровно в одной точке B. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, значит, они не скрещиваются.

Ответ: прямые AB и BB₁ пересекаются в точке B.

Прямые AB и C₁D₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

Определим взаимное расположение AB и C₁D₁ и обоснуем вывод. Эти рёбра не имеют общей вершины, поэтому нужно отличить параллельность от скрещивания. Сравним их направления и используем расположение граней куба.

1. В квадрате ABCD противоположные рёбра AB и CD параллельны. Рёбра CD и C₁D₁ принадлежат боковой грани DCC₁D₁, поэтому они также параллельны.
2. По признаку параллельности двух прямых, параллельных одной и той же прямой, из AB ∥ CD и CD ∥ C₁D₁ следует AB ∥ C₁D₁. Параллельные прямые лежат в одной плоскости, следовательно, это не скрещивающиеся прямые.

Ответ: AB ∥ C₁D₁.

Угол между прямыми AB и B₁C₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

Прямые AB и B₁C₁ не имеют общей точки, поэтому для определения угла нужно заменить одну из них параллельной прямой, которая пересекает другую. Через B₁ проведём такую прямую и сравним её с B₁C₁. В кубе соседние рёбра одной грани перпендикулярны.

1. Через точку B₁ проводим прямую, параллельную AB. В верхней грани куба такой прямой является B₁A₁, поскольку противоположные стороны квадрата A₁B₁C₁D₁ параллельны.
2. Прямые A₁B₁ и B₁C₁ пересекаются в точке B₁ и являются соседними сторонами квадратной грани. Поэтому угол между ними равен 90°.
3. Поскольку A₁B₁ параллельна AB, найденный угол равен углу между исходными прямыми. Здесь он прямой, то есть меньший угол также составляет 90°.

Ответ: угол между AB и B₁C₁ равен 90°.

Типичные ошибки

Ошибка — называть любые непересекающиеся прямые параллельными. Так рассуждают, перенося на пространство привычное правило о прямых на плоскости, но в пространстве возможны скрещивающиеся прямые. Для проверки установи, лежат ли они в одной плоскости: если нет, они скрещиваются, а если да и не пересекаются — параллельны.

Ошибка — считать прямые скрещивающимися только потому, что на плоском изображении они не пересекаются. Рисунок передаёт объём условно: разные плоскости могут быть показаны рядом, и видимая картина не заменяет доказательство. Проверь, какие грани и рёбра содержат прямые, и обоснуй, существует ли общая плоскость.

Ошибка — измерять угол между скрещивающимися прямыми непосредственно по чертежу. У этих прямых нет общей точки, а наклон линий на рисунке зависит от способа изображения пространственной фигуры. Сначала проведи через удобную точку прямую, параллельную одной из данных, и только после этого определяй угол пересекающихся прямых.

Ошибка — выбирать больший угол между прямыми. При пересечении можно увидеть и острый, и тупой угол, но по определению угол между прямыми — меньший из них. Проверь, что выбранная величина не превосходит 90°; если угол больше, возьми смежный с ним.

Связь с другими темами

Для разбора темы нужно представлять, что такое прямая и плоскость в пространстве, как точка принадлежит прямой и как располагаются прямые на плоскости. Эти знания помогают понять, что значит провести одну плоскость через две прямые. Также используются свойства параллельных прямых и равенство соответствующих углов при параллельных прямых и секущей.

Дальше понятия взаимного расположения прямых понадобятся при изучении параллельности прямой и плоскости. Способ параллельной замены пригодится при рассмотрении углов между прямыми и плоскостями: он позволяет свести пространственную задачу к углу между пересекающимися объектами. Поэтому важно не только запомнить названия положений, но и уметь их обосновывать.

Что запомнить

• Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Непересекающиеся прямые не обязательно параллельны.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят через параллельную замену одной из прямых.
• Угол между прямыми — меньший из углов, поэтому он не больше 90°.