2.1. Скрещивающиеся прямые

Определения и обозначения

Прямые в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Слово «компланарные» означает «принадлежащие одной плоскости»; оно помогает отличить плоскую ситуацию от пространственной. Например, любые две пересекающиеся прямые задают плоскость, а две параллельные по определению можно поместить в одну плоскость. Проверка компланарности особенно нужна, когда прямые не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости. Это определение описывает особое взаимное положение прямых в пространстве, невозможное на обычном плоском чертеже. Чтобы узнать, скрещиваются ли прямые, недостаточно увидеть, что они не пересекаются: сначала нужно исключить параллельность. Для этого и используют понятие компланарности.

Параллельные прямые — компланарные прямые, не имеющие общих точек. Значит, для них одновременно верны два условия: они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это понятие нужно, чтобы отличать параллельные прямые от скрещивающихся: отсутствие общей точки есть и у тех и у других, а наличие общей плоскости — только у параллельных. Так можно классифицировать непересекающиеся прямые без опоры лишь на вид рисунка.

Пересекающимися называются прямые, имеющие ровно одну общую точку. Через две такие прямые можно провести единственную плоскость, потому что обе прямые проходят через эту точку. Это определение отделяет пересечение от двух вариантов расположения без общих точек. Сравнив число общих точек и возможность провести общую плоскость, можно определить положение пары прямых.

Как это устроено

В пространстве проверить только наличие пересечения недостаточно. Если у прямых нет общей точки, они могут быть параллельными или скрещивающимися: в первом случае они помещаются в одну плоскость, во втором — нет. Поэтому после проверки на пересечение нужно выяснить, компланарны ли прямые. Эта дополнительная проверка и отличает пространственную геометрию от рассуждений на плоскости.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки: если бы они пересекались, через них проходила бы плоскость, а значит, они были бы компланарны. Это противоречит определению скрещивания. Обратное рассуждение неверно: отсутствие общей точки само по себе ещё не доказывает, что прямые скрещиваются, ведь они могут быть параллельны. Следовательно, для скрещивания нужно установить оба обстоятельства: нет пересечения и нет общей плоскости.

Признак скрещивания позволяет заменить прямую проверку компланарности более удобной. Пусть прямая a лежит в плоскости α, а прямая b пересекает α в точке P, причём P не принадлежит a. Тогда a и b не пересекаются: единственная возможная общая точка прямой b с плоскостью α — это P, а на a этой точки нет. Кроме того, прямые не могут лежать в одной плоскости: такая плоскость должна была бы содержать и a, и b, а значит, совпасть с α, но b не лежит в α.

Чтобы применить признак, выберите плоскость, в которой заведомо лежит одна из прямых. Затем найдите точку, в которой вторая прямая пересекает эту плоскость, и проверьте, принадлежит ли эта точка первой прямой. Если не принадлежит, признак доказывает скрещивание; если принадлежит, он не даёт такого вывода. Удобнее выбирать плоскость, заданную гранями или сторонами знакомой фигуры, например плоскость основания призмы.

В пространственной фигуре сначала проследите, какие рёбра имеют общую вершину, какие параллельны, а какие принадлежат одной грани. Рёбра одной грани заведомо компланарны, но рёбра разных граней могут быть скрещивающимися. Для доказательства выберите грань, содержащую одно ребро, и проверьте, где другое ребро пересекает плоскость этой грани. Такой анализ объясняет взаимное положение прямых, тогда как видимые на рисунке наклон и расстояние между линиями сами по себе ничего не доказывают.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала проверьте, есть ли общая точка, а затем — лежат ли прямые в одной плоскости. Если общей точки нет, последняя колонка помогает различить параллельные и скрещивающиеся прямые. Сочетание «да» в первой колонке и «нет» во второй невозможно: пересекающиеся прямые всегда компланарны.

Разбор задач

Прямые AB и CC₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

Условие. Определите взаимное положение прямых AB и CC₁ в кубе. Рёбра куба задают плоские грани, поэтому удобно использовать плоскость основания ABCD. Нужно не только заметить, что рёбра расположены по-разному, но и обосновать, что они не пересекаются и некомпланарны.

1. Прямая AB лежит в плоскости основания ABCD. Прямая CC₁ пересекает эту плоскость в точке C, поскольку C принадлежит основанию, а C₁ — нет. Значит, у CC₁ с плоскостью ABCD ровно одна общая точка.

2. Точка C не принадлежит прямой AB: это три разные вершины одной грани, и AB — другое ребро основания. По признаку скрещивания прямая AB и прямая CC₁ скрещиваются. В частности, они не пересекаются и не могут лежать в одной плоскости.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые.

Прямые AB и CD в тетраэдре ABCD

Условие. Докажите, что в тетраэдре ABCD прямые AB и CD скрещиваются. В тетраэдре грани — треугольники, а четыре вершины не лежат в одной плоскости. Для доказательства используем грань ABC, содержащую AB.

1. Прямая AB лежит в плоскости ABC. Прямая CD пересекает плоскость ABC в точке C: вершина C принадлежит грани, а вершина D находится вне её плоскости. Поэтому у прямой CD с плоскостью ABC только одна общая точка — C.

2. Точка C не лежит на прямой AB, так как A, B и C — вершины треугольника ABC. Условия признака скрещивания выполнены: одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает её вне первой прямой. Значит, AB и CD скрещиваются.

Ответ: AB и CD — скрещивающиеся прямые.

Прямые AB, A₁C₁ и CC₁ в треугольной призме

Условие. Исследуйте попарное расположение прямых AB, A₁C₁ и CC₁ в призме ABCA₁B₁C₁. У двух оснований призмы плоскости параллельны, а соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Проверим все три пары, не полагаясь на то, как они выглядят на чертеже.

1. Для AB и A₁C₁ возьмём плоскость боковой грани ABB₁A₁, содержащую AB. Прямая A₁C₁ пересекает её в точке A₁, которая не лежит на AB. По признаку эти прямые скрещиваются.

2. Прямая AB лежит в плоскости основания ABC. Прямая CC₁ пересекает эту плоскость в точке C, не принадлежащей AB, поэтому AB и CC₁ скрещиваются. Наконец, A₁C₁ проходит через C₁, как и CC₁, значит, эта пара пересекается в точке C₁.

Ответ: AB и A₁C₁ скрещиваются; AB и CC₁ скрещиваются; A₁C₁ и CC₁ пересекаются в C₁.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые скрещивающимися. Её допускают, потому что в плоской геометрии непересекающиеся прямые обычно представляют параллельными, а пространственный случай забывают. Проверьте, можно ли поместить обе прямые в одну плоскость: если можно, они параллельны; если нельзя, скрещиваются. Самого отсутствия общей точки недостаточно.

Ошибка: объявлять прямые скрещивающимися только по рисунку. Проекция пространственной фигуры может показать параллельные прямые непараллельными или скрыть их взаимное расположение. Рисунок полезен как подсказка, но отношения между прямыми нужно обосновать свойствами фигуры. Для проверки выберите подходящую плоскость и докажите, где её пересекает вторая прямая.

Ошибка: путать отсутствие общей точки с отсутствием общей плоскости. Эти утверждения не равнозначны: параллельные прямые тоже не пересекаются, но лежат в одной плоскости. Причина ошибки — проверка только одного свойства пары. Перед выводом отдельно установите отсутствие пересечения и некомпланарность.

Ошибка: применять признак скрещивания, не проверив положение точки пересечения. Если вторая прямая пересекает выбранную плоскость в точке, принадлежащей первой прямой, условие признака не выполнено и скрещивание не доказано. Чтобы не ошибиться, проверьте принадлежность точки именно прямой, а не только плоскости. Если точка лежит на первой прямой, нужно выбрать другой способ рассуждения или другую плоскость.

Связь с другими темами

Для изучения скрещивающихся прямых нужны базовые понятия стереометрии: прямая и плоскость, принадлежность точки прямой или плоскости. Также необходимо знать, что параллельные прямые не пересекаются, а пересекающиеся имеют общую точку. Эти определения позволяют проверять оба признака, от которых зависит классификация пары прямых.

Понятие скрещивания пригодится при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей. Оно также помогает разбирать рёбра многогранников и доказывать свойства пространственных фигур. Выбор плоскости, содержащей одну из прямых, становится полезным при решении таких задач и в дальнейшем.

Что запомнить

• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.

• Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки.

• Непересекающиеся прямые в пространстве бывают параллельными или скрещивающимися.

• Для доказательства скрещивания можно применить признак с пересечением плоскости.

• Рисунок помогает выдвинуть предположение, но не заменяет доказательство.