7. Скрещивающиеся прямые

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые в пространстве, которые не лежат в одной плоскости. Иными словами, нельзя провести одну плоскость, содержащую обе прямые. Это определение нужно, чтобы отличать скрещивание от параллельности, при которой прямые тоже не пересекаются.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие общую точку; они всегда лежат в одной плоскости. Если прямые пересекаются, через них можно провести плоскость, причём только одну. Это помогает сразу исключить скрещивание.

Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Поэтому для двух прямых отсутствие общей точки ещё не даёт ответа: надо выяснить, существует ли содержащая их плоскость. Это различие — основа классификации прямых в пространстве.

Скрещивание прямых — взаимное расположение двух прямых, при котором они не пересекаются и не являются параллельными. Термин коротко обозначает случай, когда прямые не имеют общей точки и не помещаются в одну плоскость. Он нужен для описания объектов, например рёбер многогранника, направленных в разные стороны.

Как это устроено

В пространстве две прямые могут не пересекаться, но этого недостаточно для вывода о скрещивании. Например, параллельные прямые тоже не имеют общей точки, однако проходят в одной плоскости. Поэтому сначала выясняют, пересекаются ли прямые, а если нет — проверяют, можно ли поместить их в общую плоскость. Только так можно различить два возможных случая.

Если две прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Это следует из планиметрии: две прямые на плоскости, которые не параллельны, при продолжении пересекутся. Скрещивающиеся прямые отличаются именно отсутствием общей плоскости, поэтому правило о пересечении или параллельности к ним не применяется. Оно действует лишь после того, как установлено, что прямые компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Можно выбрать два ребра, у которых нет общей вершины и которые не принадлежат одной грани, например AB и CC₁. Рёбра одной грани вместе лежат в этой грани, то есть в одной плоскости; выбранные рёбра в одной грани не находятся. Если бы они лежали в общей плоскости, эта плоскость пересекала бы грани куба по прямым, содержащим выбранные рёбра, что невозможно при таком расположении. Поэтому эти рёбра показывают скрещивание.

Чтобы обосновать скрещивание, удобно рассуждать от противного. Предположим, что две прямые лежат в одной плоскости, и используем свойства этой плоскости или известных точек в ней. Если из предположения следует, что точка должна принадлежать плоскости, хотя по условию она ей не принадлежит, получено противоречие. Значит, исходное предположение неверно: общей плоскости нет. При этом отдельно следует установить, что сами прямые не пересекаются.

Параллельные прямые не могут быть скрещивающимися по определению параллельности в пространстве. Если две прямые параллельны, для них существует общая плоскость, а скрещивающиеся прямые общей плоскости не имеют. Поэтому, найдя плоскость, в которой лежат обе прямые, можно сразу исключить скрещивание: дальше останется определить, пересекаются они или параллельны.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала проверьте, имеют ли прямые общую точку. Если не имеют, обратитесь к столбцу о плоскости: общая плоскость означает параллельность, а её отсутствие — скрещивание. Таблица помогает не путать скрещивающиеся прямые с параллельными.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Определите, пересекаются, параллельны или скрещиваются прямые AB и CC₁. Решим задачу, проверив сначала общую точку, затем общую плоскость. Расположение рёбер следует оценивать в самом кубе, а не только по тому, как они выглядят на плоском изображении.

1. У прямой AB точки лежат на нижнем ребре куба, а CC₁ — вертикальное ребро через вершину C. Эти рёбра не имеют общей вершины и не пересекаются.
2. Прямые не параллельны: AB направлена вдоль одного ребра основания, а CC₁ — вертикально. Если бы они лежали в одной плоскости, то, будучи непараллельными, должны были бы пересечься.
3. Поскольку общей точки нет, а предположение об общей плоскости привело бы к пересечению, общей плоскости у прямых нет.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые. Здесь недостаточно было заметить, что рёбра не имеют общей вершины: решающим стало исключение общей плоскости.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение прямых AB и B₁C₁ и обоснуйте ответ. Прямые не параллельны: направления рёбер AB и B₁C₁ различны. Проверим, могут ли они лежать в одной плоскости.

1. Рёбра AB и B₁C₁ не имеют общей точки: первое находится на нижнем основании, второе — на верхнем.
2. Предположим, что обе прямые лежат в плоскости α. Плоскость α содержит точки A и B, а также B₁ и C₁.
3. Поскольку AB и B₁C₁ не параллельны, две прямые в плоскости α должны пересечься. Но по расположению рёбер куба общей точки у них нет, поэтому предположение неверно.

Ответ: AB и B₁C₁ скрещиваются. Такой вывод можно сделать и по отсутствию общей точки вместе с отсутствием общей плоскости; одного только различия направлений для доказательства недостаточно.

Задача 3. В тетраэдре ABCD докажите, что прямые AB и CD скрещиваются. У этих рёбер нет общей вершины, поэтому они не пересекаются. Осталось доказать, что они не лежат в одной плоскости.

1. Предположим противное: прямые AB и CD лежат в одной плоскости α.
2. Точки A и B принадлежат α, как и точка C, поскольку C лежит на прямой CD. Три точки A, B и C не лежат на одной прямой, поэтому они задают плоскость ABC, а α совпадает с ней.
3. Точка D также лежит на CD, а значит, по предположению принадлежит α. Тогда D должна лежать в плоскости ABC, что противоречит тому, что ABCD — тетраэдр.

Ответ: AB и CD не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости, следовательно, они скрещиваются. Противоречие возникло именно из предположения об общей плоскости.

Типичные ошибки

Ошибка — называть скрещивающимися любые непересекающиеся прямые. Так делают, потому что в планиметрии обычно сравнивают прямые по наличию общей точки, но в пространстве появляется ещё случай параллельности. Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости: если да и они не пересекаются, то параллельны.

Ошибка — решать по одному плоскому чертежу, что изображённые непересекающимися прямые обязательно скрещиваются. На рисунке пространственные расстояния и направления могут быть переданы условно, а параллельные прямые тоже могут выглядеть разнесёнными. Сверьте положение прямых с обозначениями вершин и гранями тела, затем обоснуйте вывод геометрически.

Ошибка — доказывать скрещивание только фразой «прямые не пересекаются». Это подтверждает лишь отсутствие общей точки, но не исключает параллельность. Для проверки отдельно покажите, что общей плоскости быть не может, например рассуждением от противного.

Ошибка — путать скрещивание с перпендикулярностью. Их смешивают, потому что оба понятия описывают взаимное положение прямых, однако перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, а скрещивающиеся не пересекаются. Проверьте, идёт ли речь о наличии общей точки или об угле; для скрещивания ключевое условие — отсутствие общей плоскости.

Связь с другими темами

Для изучения скрещивающихся прямых нужны знания о плоскости, принадлежности точек и прямых плоскости и пересечении прямых. Тема продолжает изучение параллельных прямых: к двум знакомым случаям взаимного расположения добавляется случай без общей плоскости. Это помогает разбирать, как расположены прямые и плоскости в пространстве. Позже понятие пригодится при изучении угла между прямыми в пространстве и решении задач на многогранники.

Что запомнить

• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть параллельными или скрещивающимися.
• Параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости.
• Чтобы доказать скрещивание, нужно исключить возможность общей плоскости.