8. Углы с сонаправленными сторонами

Определения и обозначения

Сонаправленные лучи — лучи, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Чтобы это определить, сравнивают их направления: при переносе начал так, чтобы они совпали, лучи должны смотреть в одну сторону. Одной параллельности прямых для этого недостаточно. Это понятие помогает установить соответствие сторон углов.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом; общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Когда говорят, что стороны одного угла сонаправлены сторонам другого, сравнивают именно направления лучей. Первой стороне одного угла должна соответствовать первая сторона другого, а второй — вторая. Вершины при этом могут быть разными.

Углы с сонаправленными сторонами — углы, у которых соответственно сонаправлены первые и вторые стороны. Например, если лучи OA и OC сонаправлены, а OB и OD тоже сонаправлены, то углы AOB и COD удовлетворяют условию. По теореме такие углы равны. Это позволяет сравнивать углы, даже если они изображены в разных местах чертежа.

Соответственные углы возникают при пересечении двух прямых секущей, то есть прямой, пересекающей обе эти прямые. Если прямые параллельны, соответственные углы равны. Именно это свойство используют, чтобы доказать равенство углов с сонаправленными сторонами: нужные стороны оказываются параллельными, а исходные углы можно связать с соответственными.

Как это устроено

Начните с одной стороны первого угла и найдите сторону второго угла, которая ей соответствует. Для этого сравните направления лучей: они должны лежать на параллельных прямых и смотреть в одну сторону. Затем так же сопоставьте вторые стороны. Если обе пары отвечают этому условию, стороны углов можно считать сонаправленными.

Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых по определению, поэтому прямые, содержащие соответствующие стороны углов, параллельны. Чтобы связать углы, мысленно проведите через вершину одного угла прямые, параллельные сторонам другого. Получится пара параллельных прямых, пересечённых секущей. Так исходная задача о направлениях превращается в задачу об углах при параллельных прямых.

При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны: стороны одного из них параллельны соответствующим сторонам другого и направлены так же. В построении эти углы совпадают по величине с исходными углами. Значит, если первые стороны исходных углов сонаправлены и вторые тоже, их величины равны. Это и есть теорема об углах с сонаправленными сторонами.

Вершины углов не обязаны совпадать, потому что равенство определяется направлениями сторон, а не расстоянием между вершинами. На чертеже один угол может быть повёрнут или расположен значительно выше другого. Установите, какие лучи сонаправлены, и примените теорему; внешний вид рисунка сам по себе ничего не доказывает. Такой подход особенно удобен, когда углы нельзя непосредственно наложить друг на друга.

Параллельность не учитывает, куда направлены лучи: на параллельных прямых они могут смотреть как в одну, так и в противоположные стороны. Если противоположно направлена одна пара сторон, величина одного угла может быть дополнительной до 180° к величине другого. Если противоположно направлены обе пары, разворот обеих сторон не меняет величину угла. Поэтому для вывода о равенстве нужно проверить сонаправленность обеих соответствующих пар, а не только параллельность.

Направления сторон и соотношение углов

Таблица помогает сначала проверить направления лучей, а затем выбрать допустимый вывод. Сравнивайте соответствующие стороны по отдельности: первая с первой, вторая со второй. Если хотя бы одна пара направлена иначе, не применяйте теорему о сонаправленных сторонах без дополнительного обоснования.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке даны два угла, стороны которых попарно сонаправлены. Один угол равен 38°. Найдите другой. Здесь не нужно измерять угол по рисунку: условие уже позволяет применить теорему. Сначала проверяем, что сонаправлены обе пары сторон, затем сравниваем величины.

1. Обозначим неизвестный угол как второй угол пары.
2. По условию первые стороны углов сонаправлены, и вторые стороны тоже сонаправлены.
3. Следовательно, углы равны по теореме об углах с сонаправленными сторонами.
4. Неизвестный угол равен 38°.

Ответ: 38°.

Задача 2. Угол AOB равен 124°. Лучи OC и OD соответственно сонаправлены лучам OA и OB. Найдите угол COD. Важное слово здесь — «соответственно»: оно указывает, какой луч с каким нужно сравнивать. То, что вершины углов разные, не мешает применить теорему.

1. Сопоставим лучи по условию: OC с OA, а OD с OB.
2. Обе соответствующие пары сонаправлены, значит, стороны углов AOB и COD попарно сонаправлены.
3. По теореме эти углы равны: ∠COD = ∠AOB.
4. Подставим известную величину: ∠COD = 124°.

Ответ: 124°.

Задача 3. Докажите, что два угла равны, если их стороны соответственно сонаправлены. Пусть это углы AOB и COD, причём OA и OC сонаправлены, как и OB и OD. Нужно объяснить равенство, а не просто сослаться на вид чертежа. Для этого используем равенство соответственных углов при параллельных прямых.

1. Поскольку OA и OC сонаправлены, прямые OA и OC параллельны; аналогично, прямые OB и OD параллельны.
2. Рассмотрим прямые, содержащие соответствующие стороны. Они параллельны, а одна из них пересекает другую пару как секущая.
3. Углы, образованные этими параллельными прямыми и секущей в соответствующих положениях, являются соответственными и равны.
4. Их величины совпадают с величинами исходных углов, поэтому ∠AOB = ∠COD.

Ответ: углы равны, что и требовалось доказать.

Типичные ошибки

Считать, что параллельные стороны обязательно сонаправлены. Ошибка возникает потому, что на чертеже лучи часто изображают почти одинаково, хотя один может смотреть в противоположную сторону. Проверьте направление каждого луча, мысленно совместив его начало с началом другого параллельного луча. Для теоремы о равенстве нужно, чтобы сонаправлены были обе пары сторон.

Сопоставлять стороны не по порядку. Иногда ученик сравнивает первую сторону одного угла со второй стороной другого, потому что так удобнее выглядит рисунок. Но соответствие задаётся направлением лучей, а не тем, как они расположены на странице. Подпишите пары отдельно: какая сторона сонаправлена первой, какая — второй. Затем проверьте обе пары.

Делать вывод по внешнему виду чертежа. Углы могут быть наклонены по-разному или иметь разные вершины, и из-за этого кажется, что их величины различаются. Рисунок не всегда выполнен в масштабе, поэтому внешний вид не заменяет доказательства. Проверяйте параллельность и направления сторон, а равенство обосновывайте теоремой.

Путать равенство углов с равенством их сторон. Теорема утверждает равенство величин углов, а не совпадение лучей или равенство длин каких-либо отрезков. Путаница появляется из-за слова «равны», которое применяют и к углам, и к отрезкам. Чтобы проверить себя, сформулируйте вывод точно: равны градусные меры углов, вершины и сами лучи могут быть разными.

Связь с другими темами

Для работы с сонаправленными сторонами нужны понятия луча, угла и параллельных прямых. Доказательство опирается на соответственные углы при параллельных прямых и секущей, поэтому знание этого свойства помогает понять, откуда берётся равенство. Теорема пригодится в задачах на доказательство равенства углов и на параллельность. Позже сравнение направлений сторон встретится при изучении углов при параллельных прямых и геометрических преобразований.

Что запомнить

• Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.
• Сонаправленность проверяют отдельно для каждой пары соответствующих сторон.
• Углы с сонаправленными сторонами равны, даже если их вершины различны.
• Доказательство можно свести к равенству соответственных углов.
• Параллельность сторон сама по себе ещё не означает их сонаправленность.