9. Угол между прямыми

Определения и обозначения

Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла, причём противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Углом между прямыми называют меньший из этих углов, поэтому он не превышает 90°. Это правило позволяет однозначно сравнивать направления прямых, даже если при пересечении видны острый и тупой углы.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны, поэтому угол между ними нельзя отсчитать непосредственно в точке пересечения. Через произвольную точку проводят две прямые, параллельные исходным, и измеряют меньший угол между полученными пересекающимися прямыми. Такое построение сводит определение угла для скрещивающихся прямых к уже знакомому случаю пересечения.

Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от того, какую точку выбрали для построения параллельных им прямых. Если перенести построение, направления новых прямых останутся параллельными прежним, поэтому величина угла сохранится. Это свойство нужно, чтобы выбирать точку, в которой удобнее выполнять чертёж или вычисления.

Прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Определение относится и к скрещивающимся прямым: они могут не иметь общей точки, но их направления при параллельном переносе образуют прямой угол. Поэтому перпендикулярность в пространстве не означает обязательного пересечения прямых.

Как это устроено

Для пересекающихся прямых строить дополнительные объекты не требуется: точка пересечения уже задаёт вершину образованных углов. Из четырёх углов достаточно выбрать меньший, поскольку вертикальные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°. Так при любом положении прямых получается одно значение от 0° до 90°, а не два разных ответа.

Для скрещивающихся прямых сначала переносят направления в одну точку. Через выбранную точку проводят прямую, параллельную первой исходной, и прямую, параллельную второй; по аксиоме параллельных прямых такая прямая проводится единственным образом. Построенные прямые пересекаются, и уже у этого пересечения можно определить угол. Этот приём нужен именно потому, что исходные прямые общей точки не имеют.

Перенос точки построения не меняет ответ, потому что параллельные прямые имеют одно и то же направление. Если через новую точку провести прямые, параллельные исходным, каждая из них будет параллельна соответствующей прямой, построенной в первый раз. Угол между параллельными направлениями одинаков, так что выбирать особое место в пространстве не нужно; можно взять точку, связанную с вершиной или ребром фигуры.

Угол между прямыми рассматривают как меньший, чтобы не зависеть от того, с какой стороны смотрят на пару прямых и какой из углов на чертеже заметнее. Для двух пересекающихся прямых смежные углы дополняют друг друга до 180°, поэтому один из них не больше 90°. Границы этого диапазона тоже имеют смысл: совпадающие или параллельные направления дают 0°, а взаимно перпендикулярные — 90°.

В пространственной фигуре нужные параллельные прямые часто проходят через удобную вершину. Например, в кубе противоположные рёбра одной и той же группы параллельны: можно заменить одно ребро другим, чтобы получить пересечение с прямой, параллельной второму исходному ребру. После этого угол определяют по знакомым свойствам граней куба, которые являются квадратами. Главное — перед измерением проверить, что каждое построенное ребро действительно параллельно соответствующей исходной прямой.

Угол между прямыми в пространстве

Сначала определите взаимное расположение прямых: от этого зависит, нужно ли выполнять параллельный перенос. Затем найдите меньший угол, а для параллельных и перпендикулярных прямых используйте известные значения 0° и 90°. У таблицы есть пересечения категорий: перпендикулярные прямые могут быть и пересекающимися, и скрещивающимися.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются под углами 35° и 145°. Найдите угол между ними.
1. При пересечении углы 35° и 145° являются смежными: их сумма равна 180°.
2. По определению выбираем меньший угол из образованных.
Ответ: 35°.

Задача 2. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ найдите угол между скрещивающимися рёбрами AB и CC₁.
1. Ребро DD₁ параллельно CC₁, а ребро AB не пересекает CC₁ и не параллельно ему, поэтому заданные рёбра скрещиваются.
2. Проведём через A прямую AA₁, параллельную CC₁. Теперь AA₁ пересекает AB в точке A.
3. Рёбра AB и AA₁ соседние стороны квадратной грани ABB₁A₁, поэтому образуют угол 90°.
Ответ: угол между AB и CC₁ равен 90°; эти скрещивающиеся рёбра перпендикулярны.

Задача 3. В тетраэдре ABCD известно, что AC² + BD² = AD² + BC². Установите, перпендикулярны ли скрещивающиеся рёбра AB и CD.
1. Через A проведём прямую, параллельную CD. Угол между этой прямой и AB равен углу между исходными скрещивающимися рёбрами.
2. Обозначим векторы AB через u, AC через p, AD через q. Тогда BD² = |q − u|², BC² = |p − u|², а CD = q − p.
3. Подставим равенство длин: |p|² + |q − u|² = |q|² + |p − u|². После раскрытия квадратов получим u · (q − p) = 0.
4. Это означает, что направления AB и CD перпендикулярны, следовательно, угол между построенными пересекающимися прямыми равен 90°.
Ответ: рёбра AB и CD перпендикулярны.

Типичные ошибки

Можно назвать углом между пересекающимися прямыми больший угол, например 145° вместо 35°. Так происходит, если смотреть только на заметный на чертеже сектор и забыть определение. Проверьте себя: из двух смежных углов выбирайте тот, который меньше или равен 90°.

Нельзя пытаться непосредственно измерить угол между скрещивающимися прямыми: у них нет общей точки, в которой образуется угол. Ошибка возникает, когда определение для пересекающихся прямых без изменений переносят на пространственный случай. Проверьте положение прямых и, если они скрещиваются, проведите через одну точку параллельные им прямые.

Иногда считают, что для построения обязательно нужна особая точка, например вершина фигуры. Это не так: точку разрешено выбирать произвольно, потому что параллельные прямые сохраняют направления и угол. Чтобы проверить построение, убедитесь, что обе новые прямые параллельны соответствующим исходным, а затем выбирайте наиболее удобную точку.

Перпендикулярность в пространстве ошибочно отождествляют с пересечением. Такое смешение понятно: на плоскости перпендикулярные прямые пересекаются, но в пространстве перпендикулярными могут быть и скрещивающиеся прямые. Проверяйте не наличие общей точки у исходных прямых, а величину угла, определённого через параллельные им пересекающиеся прямые.

Связь с другими темами

Для работы с углами между прямыми нужно знать, как прямые располагаются в пространстве: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Также пригодятся признаки параллельности и умение проводить прямую, параллельную данной, через выбранную точку. Угол между пересекающимися прямыми находят по планиметрическим правилам, выбирая меньший угол. Далее это понятие помогает изучать перпендикулярность в пространстве, угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.

Что запомнить

• Угол между прямыми — меньший из углов, образованных пересекающимися прямыми.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят через пересекающиеся параллельные им прямые.
• Результат не зависит от точки, через которую проведены параллельные прямые.
• Угол между прямыми лежит от 0° до 90° включительно.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.