14.2. Угол между прямыми

Определения и обозначения

Угол между пересекающимися прямыми — меньший из углов, образованных этими прямыми. Он не превосходит 90°, то есть лежит в промежутке от 0° до 90°. Такое определение нужно, чтобы для одной пары прямых всегда получать одну и ту же величину, а не выбирать любой из четырёх углов.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Иными словами, исходные прямые мысленно переносят так, чтобы они пересеклись. Это позволяет измерять угол даже у прямых, не имеющих общей точки.

Перпендикулярные прямые в пространстве — прямые, угол между которыми равен 90°. Они могут пересекаться, но могут и быть скрещивающимися. Поэтому в пространстве перпендикулярность означает прямой угол между направлениями, а не обязательно наличие общей точки.

Как это устроено

При пересечении двух прямых появляются два острых или прямых угла и два смежных с ними угла. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому если один из них больше 90°, другой обязательно меньше 90°. Именно меньший угол однозначно описывает взаимное направление прямых и не выходит за пределы от 0° до 90°.

Для скрещивающихся прямых сначала выбирают произвольную точку в пространстве. Через неё проводят одну прямую, параллельную первой данной прямой, и другую, параллельную второй; новые прямые пересекутся в выбранной точке. Меньший угол между ними и называют углом между исходными скрещивающимися прямыми.

Выбор точки не влияет на результат, потому что параллельные прямые имеют одинаковое направление. Если перенести обе построенные прямые в другое место, не меняя их направлений, они образуют такой же угол. Поэтому определение корректно: любая подходящая точка приводит к одной и той же величине.

Так можно объединить разные случаи. Если прямые пересекаются, угол измеряют непосредственно; если они параллельны, их направления совпадают и угол равен 0°; если они скрещиваются, используют параллельные им пересекающиеся прямые. Во всех случаях выбирается меньший угол между направлениями двух прямых.

Если этот угол равен 90°, направления прямых взаимно перпендикулярны. При пересечении сами прямые образуют прямой угол, а при скрещивании прямой угол получают у построенных параллельных прямых. Значит, перпендикулярность в пространстве не требует обязательного пересечения исходных прямых.

Угол между прямыми в пространстве

Сначала определите взаимное расположение прямых, а затем выберите соответствующий способ. Строка «перпендикулярны» описывает не отдельный способ расположения, а особый случай, когда найденный угол равен 90°. При работе со скрещивающимися прямыми особенно важно явно указать, какие параллельные прямые построены.

Разбор задач

Задача 1

Две прямые пересекаются, и один из образованных углов равен 128°. Требуется найти угол между прямыми. Данный угол больше 90°, поэтому по определению он не может быть углом между прямыми.

1. Смежный с углом 128° угол дополняет его до 180°.
2. Вычисляем: 180° − 128° = 52°.
3. Вертикальный ему угол также равен 52°, а два оставшихся угла равны 128°.

Меньший из образованных углов равен 52°. Следовательно, угол между прямыми — 52°. Проверка выполнена сравнением с 90°: результат не превышает этого значения.

Задача 2

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдём угол между прямыми AB и B₁C₁. Эти прямые не обязаны пересекаться, поэтому сначала нужно заменить одну из них параллельной прямой. В основании куба ABCD и верхнем квадрате A₁B₁C₁D₁ соответствующие рёбра параллельны.

1. В верхней грани B₁C₁ ∥ BC.
2. У прямых AB и BC есть общая точка B, поэтому угол между AB и B₁C₁ равен углу ABC.
3. Грань ABCD — квадрат, значит, угол ABC равен 90°.

Следовательно, угол между прямыми AB и B₁C₁ равен 90°. Значит, эти прямые перпендикулярны по определению угла между прямыми. Замена B₁C₁ на параллельную ей BC допустима, потому что направление не изменилось.

Задача 3

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажем, что прямые AC и B₁D₁ перпендикулярны. Прямые могут быть скрещивающимися, поэтому их нельзя просто рассматривать как стороны одной грани. Нужно провести параллельную замену, чтобы получить пересекающиеся диагонали.

1. В верхней грани B₁C₁D₁A₁ диагональ B₁D₁ параллельна диагонали BD основания куба.
2. Прямые AC и BD пересекаются в центре квадрата ABCD.
3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол AOB равен 90°, где O — точка их пересечения.

Угол между AC и B₁D₁ равен углу между AC и BD, так как B₁D₁ ∥ BD. Поэтому он равен 90°, и прямые AC и B₁D₁ перпендикулярны. Доказательство использует определение для скрещивающихся прямых и свойство диагоналей квадрата.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Называть углом между прямыми любой из четырёх углов при пересечении. Так происходит, если забывают о слове «меньший» в определении. Проверьте результат: угол между прямыми не должен быть больше 90°.

Ошибка 2. Считать, что угол между скрещивающимися прямыми определить нельзя. Прямые действительно не пересекаются, но через выбранную точку можно провести параллельные им прямые. Проверьте себя: в построении должны участвовать два направления, параллельные исходным.

Ошибка 3. Проводить через точку произвольную прямую вместо параллельной данной. Тогда угол будет относиться уже к другой паре направлений. Проверьте построение по признаку параллельности: соответствующие прямые не должны пересекаться и должны иметь одно направление.

Ошибка 4. Считать, что перпендикулярные прямые обязательно пересекаются. Это верно на плоскости, но не для всех прямых в пространстве. Проверьте не наличие общей точки, а величину угла между направлениями: она должна быть 90°.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать виды взаимного расположения прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся. Также понадобятся свойства параллельных прямых и правила работы с углами при пересечении прямых.

Понятие угла между прямыми используется при доказательстве перпендикулярности в кубе, призме и других пространственных фигурах. Позже оно помогает изучать углы между прямыми и плоскостями, поскольку направление прямой сравнивают с её проекцией или с другой удобной прямой.

Что запомнить

• Угол между прямыми — меньший из углов, связанных с их направлениями.
• Величина угла между прямыми лежит от 0° до 90° включительно.
• Для скрещивающихся прямых угол определяют через параллельные им пересекающиеся прямые.
• Параллельные прямые образуют угол 0°.
• Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
• Перпендикулярные прямые в пространстве не обязательно пересекаются.