14.1. Угол между лучами

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, ограниченная одной точкой, которую называют началом луча. От начала луч продолжается бесконечно в одну сторону. Поэтому он задаёт не только прямую, но и направление движения от начальной точки; это направление важно при определении угла.

Угол между лучами — величина угла, образованного лучами после параллельного переноса к общему началу. Переносить лучи можно, не меняя их направлений. Величина такого угла находится в пределах от 0° до 180° включительно. Это определение позволяет сравнивать и измерять направления лучей, даже если они исходят из разных точек.

Совпадающие лучи имеют общее начало и одно направление, поэтому угол между ними равен 0°. Противоположные лучи имеют общее начало, лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны; угол между ними равен 180°. Эти случаи нужны, чтобы точно определить границы возможных значений угла.

Угол называют острым, если его величина больше 0° и меньше 90°; прямым, если она равна 90°; тупым, если она больше 90°, но меньше 180°. Название зависит от величины, а не от длины лучей или положения их начала. По этим определениям можно классифицировать любой угол между лучами.

Как это устроено

Если начала лучей различны, каждый луч можно передвинуть параллельно самому себе. При таком переносе его начало перемещается, но направление остаётся прежним: прямая, вдоль которой направлен луч, не поворачивается. Поэтому после переноса луч занимает то же направление, что и до него, и взаимное расположение направлений сохраняется. Достаточно перенести лучи так, чтобы их начала совпали, — получится обычный угол с общей вершиной.

После совмещения начал из двух возможных областей между лучами выбирают меньшую. Можно представить поворот от одного луча к другому: угол между лучами соответствует повороту не более чем на пол-оборота. Поэтому его величина не превышает 180°. Если лучи не совпадают и не противоположны, меньшая область задаёт единственный нужный угол.

Для заданной пары лучей результат определён однозначно, включая крайние случаи. Если направления полностью совпадают, между ними нет поворота и получается 0°. Если лучи направлены противоположно, кратчайший поворот составляет половину полного оборота, то есть 180°. Таким образом, ни совпадение, ни расположение на одной прямой не создают неопределённости.

Лучи лежат на прямых, но сами прямые направлений не задают: на каждой можно выбрать два противоположных луча. Поэтому угол между выбранными лучами может отличаться от меньшего угла между прямыми. Например, если направить оба луча к точке пересечения, получится один угол, а если изменить направление только одного луча — смежный с ним. Чтобы выбрать нужную величину, учитывают именно направления выбранных лучей.

Вид угла определяют сравнением его величины с 90° и 180°. Если угол меньше 90°, он острый; равенство 90° означает прямой угол. Между 90° и 180° находится тупой угол, а значение ровно 180° соответствует развёрнутому. Угол 0° называют нулевым, поэтому его не следует смешивать с острым.

Виды углов между лучами

Найдите величину угла и сравните её с границами в таблице. Равенство границе проверяйте отдельно: 90° — это прямой угол, а 180° — развёрнутый, не тупой. Для 0° и 180° дополнительно можно проверить, совпадают лучи или направлены в разные стороны.

Разбор задач

Задача 1

Два луча имеют общее начало и образуют угол 47°. Назовите вид угла. Здесь нужно сопоставить данное число с границами видов углов. Поскольку 47° находится между 0° и 90°, угол является острым.

1. Сравним величину с прямым углом: 47° < 90°.
2. Убедимся, что величина больше нуля: 47° > 0°.
3. Значит, выполняется условие острого угла: 0° < 47° < 90°.

Ответ: угол острый. Важно проверять обе границы: угол должен быть больше 0° и меньше 90°. Если бы он был равен 90°, это был бы прямой угол.

Задача 2

Начала двух лучей различны. Постройте угол между ними, если лучи параллельно перенесены к одной точке. Параллельный перенос должен сохранить направление каждого луча, а не просто сделать их прямые проходящими через выбранную точку. После переноса получаем пару лучей с общим началом, между которыми можно измерить меньший угол.

1. Выберите точку, которая станет общим началом перенесённых лучей.
2. Через неё проведите прямые, параллельные прямым исходных лучей, и сохраните направления: лучи должны смотреть в те же стороны, что и до переноса.
3. Отметьте меньший угол между полученными лучами и измерьте его транспортиром; он не превышает 180°.

Ответ: искомый угол построен между перенесёнными лучами. Перемещение начала не меняет величину угла, поскольку направления обоих лучей сохранены. Если построить луч в противоположную сторону, получится уже другой угол.

Задача 3

Даны две пересекающиеся прямые и выбранные на них лучи с общим началом. Определите угол между лучами для двух разных выборов направлений. Обозначим острый угол между прямыми через α, где 0° < α < 90°. Смена направления одного луча на противоположное заменяет угол α смежным углом величиной 180° − α.

1. Если оба луча выбраны внутри острого сектора, угол между ними равен α.
2. Если один луч развернуть в противоположную сторону, меньший угол между новой парой будет равен 180° − α.
3. Если развернуть оба луча, каждый повернётся на 180°, и их взаимное расположение сохранится; угол снова будет α.

Ответ: величины зависят от направлений: возможны α и 180° − α. Одних прямых недостаточно, чтобы назвать конкретный угол между лучами. Нужно уточнить, какие именно лучи выбраны на каждой прямой.

Типичные ошибки

Ошибка — всегда брать меньший угол между содержащими лучи прямыми. Так делают, потому что прямые удобно мысленно продолжать, но при этом теряются направления лучей. Проверьте выбор: направьте лучи так, как они заданы, и лишь затем перенесите их к общему началу. Иначе можно получить угол, смежный с искомым.

При параллельном переносе иногда разворачивают луч, решив, что достаточно провести параллельную прямую через новую точку. Однако луч — не вся прямая, а её часть в определённом направлении. Для проверки представьте стрелку от начала: после переноса она должна смотреть в ту же сторону, что и прежде.

Противоположные лучи могут ошибочно принять за совпадающие, поскольку они лежат на одной прямой. Но совпадающие лучи смотрят в одну сторону, а противоположные — в разные. Проследите направление от общего начала: для противоположных лучей поворот составляет 180°, а не 0°.

Угол 90° или 180° иногда называют тупым, ориентируясь на то, что он не острый. Но тупой угол строго больше 90° и строго меньше 180°. Сверяйте значение с обеими границами: равенство 90° означает прямой угол, а 180° — развёрнутый.

Связь с другими темами

Для работы с углом между лучами нужно знать, что такое прямая, луч и угол, а также уметь измерять углы в градусах. Особенно важно различать прямую и луч: первая не имеет выбранного направления, а второй направлен от начала. Это различие позволяет понять, почему одни прямые могут задавать разные углы между выбранными на них лучами.

В пространственной геометрии похожая идея используется при изучении угла между прямыми и угла между прямой и плоскостью. Там также приходится сравнивать направления, а некоторые объекты мысленно переносят, чтобы удобнее было рассматривать их взаимное положение. Умение сохранять направление при переносе помогает подготовиться к этим темам.

Что запомнить

• Угол между лучами учитывает их направления.
• Лучи с разными началами можно параллельно перенести к общему началу.
• Величина угла между лучами лежит от 0° до 180°.
• Совпадающие лучи образуют угол 0°.
• Противоположные лучи образуют угол 180°.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90° и меньше 180°.