2.3. Угол между прямыми

Определения и обозначения

Угол между прямыми — меньший из углов, образованных пересекающимися прямыми, параллельными данным; его величина не превышает 90°. Иными словами, сравнивают направления прямых, а не обязательно сами прямые, ведь они могут не пересекаться. Это определение позволяет одинаково работать с прямыми в плоскости и в пространстве.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. У них нет общей точки, поэтому обычный угол при непосредственном пересечении определить нельзя. Термин нужен, чтобы описывать такой случай и находить угол через параллельные им пересекающиеся прямые.

Перпендикулярные прямые в пространстве — прямые, угол между которыми равен 90°; они могут быть скрещивающимися. Поэтому в пространственной геометрии перпендикулярность определяется не обязательным пересечением, а величиной угла между направлениями. Это важно при изучении рёбер и других линий, не имеющих общей точки.

Угол между параллельными прямыми равен 0°, поскольку через точку можно провести совпадающие прямые, параллельные данным. Совпадающие прямые имеют одно направление, поэтому между ними нет поворота. Это соглашение позволяет включить параллельный случай в общее определение угла между прямыми.

Как это устроено

Если две прямые не пересекаются, через одну точку проводят прямую, параллельную первой, и прямую, параллельную второй. Полученная пара уже пересекается в выбранной точке, поэтому у неё можно измерить угол. Это работает потому, что параллельная замена сохраняет направление каждой исходной прямой, а именно направления сравнивает угол между прямыми.

Точку для построения параллельных прямых можно выбирать по-разному, и результат от этого не зависит. При переносе точки каждая новая прямая остаётся параллельной своей исходной прямой, а значит, сохраняет её направление. Угол между такими направлениями остаётся равным прежнему; часто точку выбирают там, где геометрическую фигуру проще использовать в доказательстве.

Пересекающиеся прямые образуют пары равных вертикальных углов и пары смежных углов, сумма которых равна 180°. Поэтому среди углов всегда можно выбрать меньший: если один из них тупой, другой будет острым, а если оба прямые — каждый равен 90°. По определению именно этот меньший угол считают углом между прямыми, так что он лежит в пределах от 0° до 90°.

Определение подходит для пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых, потому что сводит сравнение к двум пересекающимся направлениям. Для уже пересекающихся прямых ничего переносить не нужно. Для параллельных угол равен нулю, а для скрещивающихся сначала выполняют параллельную замену; так один способ определения охватывает все случаи.

Если угол между прямыми равен 90°, их называют перпендикулярными независимо от того, пересекаются ли они в пространстве. Это следует из определения: сравниваются направления прямых, а не наличие общей точки. Поэтому перпендикулярными могут быть и скрещивающиеся прямые, если параллельные им пересекающиеся прямые образуют прямой угол.

Угол между прямыми в зависимости от их взаимного расположения

Сначала определите, как расположены прямые, а затем выберите соответствующий способ из таблицы. Для скрещивающихся прямых важно построить параллельные им прямые, которые пересекаются в одной точке. В любом случае записывают меньший угол, а не тупой угол, если он образовался при построении.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются и образуют угол 124°. Найдите угол между прямыми. Здесь дан тупой угол, поэтому нужно найти смежный с ним угол и выбрать меньший из двух. Решение:

1. Смежные углы в сумме дают 180°, так как их стороны образуют развернутый угол.
2. Вычисляем второй угол: 180° − 124° = 56°.
3. Сравниваем углы: 56° меньше 124°, значит, именно его принимают за угол между прямыми.

Ответ: 56°. Результат не зависит от того, в какой части плоскости рассматривать пересечение: вертикальный угол к 56° тоже равен 56°.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB и B₁C₁. Эти прямые не пересекаются, поэтому сначала заменим одну прямую параллельной ей так, чтобы она проходила через точку на другой. Решение:

1. В кубе противоположные рёбра параллельны, поэтому B₁C₁ ∥ BC.
2. Прямые AB и BC пересекаются в точке B. Следовательно, угол между AB и B₁C₁ равен меньшему углу между AB и BC.
3. Грань ABCD — квадрат, поэтому соседние стороны AB и BC перпендикулярны.

Ответ: 90°. Замена верна потому, что параллельные рёбра куба имеют те же направления, что и соответствующие им стороны грани.

Задача 3. В правильном тетраэдре найдите угол между прямыми, содержащими противоположные рёбра. Пусть рёбра AB и CD противоположны. Чтобы сравнить их направления, удобно провести через середину одного ребра прямую, параллельную другому, и рассмотреть симметрию тетраэдра. Решение:

1. Обозначим через M и N середины рёбер AB и CD соответственно. В правильном тетраэдре плоскость через M, N и вершину A можно рассматривать вместе с плоскостью, проходящей через M, N и вершину B: эти положения симметричны относительно плоскости, перпендикулярной AB и проходящей через M.
2. При симметрии вершины C и D меняются местами, поэтому прямая CD параллельна плоскости, перпендикулярной AB в точке M. Следовательно, направление CD перпендикулярно направлению AB.
3. Через точку на AB проводят прямую, параллельную CD. Она пересекает AB под прямым углом, поэтому угол между исходными направлениями также прямой.

Ответ: 90°. Здесь использованы равенство рёбер и симметрия правильного тетраэдра: они обеспечивают перпендикулярность направлений противоположных рёбер.

Типичные ошибки

Выбирать тупой угол. При пересечении прямых легко указать любой из четырёх углов и не проверить, какой из них меньше. Но тупой угол не соответствует определению; его часто принимают из-за того, что именно он заметнее на чертеже. Проверьте величину: угол между прямыми не может быть больше 90°.

Измерять угол между скрещивающимися прямыми напрямую. Такие прямые не пересекаются, поэтому у них нет общей вершины угла; попытка построить угол на рисунке может привести к неверному результату. Ошибка возникает, если мысленно продолжать линии без обоснования. Проверьте построение: нужные прямые должны пересекаться и быть параллельными исходным.

Считать, что перпендикулярные прямые обязательно пересекаются. Это верно для привычной плоской картинки, но не для пространства, где перпендикулярными могут быть скрещивающиеся прямые. Путаница возникает из-за переноса свойства плоских фигур на любые пространственные прямые. Проверяйте не наличие общей точки, а равенство угла между прямыми 90°.

Полагать, что угол зависит от выбранной точки. При построении параллельных прямых можно получить разные чертежи и ошибочно решить, что измеряемая величина меняется. Причина — внимание к расположению линий, а не к их направлениям. Убедитесь, что в каждом построении новые прямые параллельны тем же исходным: тогда угол будет одинаковым.

Связь с другими темами

Для работы с углом между прямыми нужны свойства углов при пересечении прямых: смежные углы в сумме дают 180°, а вертикальные равны. Также нужно уметь распознавать параллельные прямые и использовать их свойства в пространстве. Это помогает определять взаимное расположение прямых и переводить задачи о скрещивающихся прямых к пересекающимся.

Понятие угла между прямыми пригодится при решении задач на перпендикулярность в пространстве. Оно также подготавливает к изучению углов между прямыми и плоскостями: в обоих случаях важно правильно выбрать направление или параллельную замену. Так геометрические свойства фигур помогают находить углы, которые нельзя измерить непосредственно.

Что запомнить

• Угол между прямыми — меньший угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
• Угол между прямыми не превышает 90°.
• Для скрещивающихся прямых угол находят с помощью параллельных им пересекающихся прямых.
• Параллельные прямые образуют угол 0°.
• Прямые называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
• В пространстве перпендикулярные прямые не обязательно пересекаются.