§ 3. Параллельность плоскостей

Определения и обозначения

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек; обозначение — α ∥ β. Иначе говоря, плоскости не пересекаются ни по прямой, ни в одной точке. Определение помогает отличить параллельные плоскости от пересекающихся и служит основой для дальнейших доказательств.

Признак параллельности плоскостей формулируется так: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Соответственно означает, что каждой прямой из первой пары сопоставлена своя параллельная ей прямая из второй. Признак нужен, когда напрямую проверить отсутствие общих точек трудно, а направления прямых в плоскостях известны.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, проведённого из точки одной плоскости к другой. Перпендикуляр пересекает вторую плоскость под прямым углом, поэтому измеряет кратчайший промежуток между плоскостями. Это определение позволяет сравнивать такие промежутки и решать задачи на расстояния в пространстве.

Как это устроено

Чтобы понять признак, предположим противное: плоскости пересекаются по прямой c. Параллельные прямые a и a₁ лежат соответственно в этих плоскостях, поэтому их общее направление принадлежит обеим плоскостям и направлению их пересечения c. Значит, a параллельна c; так же из b ∥ b₁ следует, что b параллельна c. Но две прямые, параллельные одной прямой, имеют одно направление, тогда как a и b пересекаются и не могут быть параллельными. Получено противоречие, значит, плоскости не пересекаются.

Применяя признак к задаче, сначала ищут прямые, которые точно лежат в каждой из заданных плоскостей. Внутри каждой плоскости выбранные прямые должны пересекаться, иначе это не те пары, которые требует условие. Затем устанавливают параллельность соответствующих прямых, например по известным направлениям или свойствам фигуры. Только после этих проверок можно сослаться на признак и заключить, что плоскости параллельны.

Через точку вне плоскости можно провести плоскость, параллельную данной: проведём через точку две прямые, параллельные двум пересекающимся прямым исходной плоскости. Эти прямые пересекаются в заданной точке и задают единственную плоскость; по признаку она параллельна исходной. Единственность следует из аксиом стереометрии: через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Если бы через точку проходила ещё одна параллельная плоскость, она должна была бы содержать те же прямые, а значит, совпала бы с построенной.

Пусть две параллельные плоскости пересечены третьей, а линии пересечения обозначены a и b. Если бы a и b пересекались, точка их пересечения принадлежала бы обеим исходным плоскостям, потому что лежит на каждой линии. Это невозможно: параллельные плоскости не имеют общих точек. Линии лежат в одной секущей плоскости и не пересекаются, следовательно, они параллельны.

Возьмём перпендикуляры из двух разных точек первой плоскости ко второй. Их направления параллельны: обе прямые перпендикулярны одной и той же плоскости. Если бы длины перпендикуляров различались, между соответствующими точками плоскостей возник бы сдвиг вдоль нормального направления, но обе точки верхней плоскости должны лежать на одной плоскости, параллельной первой. Поэтому все такие перпендикуляры имеют одинаковую длину; она и есть расстояние между плоскостями.

Признаки и свойства параллельных плоскостей

Пользуйтесь таблицей как кратким планом доказательства: сначала сопоставьте условие задачи с нужной строкой, затем проверьте все пункты условия. Вывод можно делать только после такой проверки, а не по внешнему виду чертежа.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α лежат пересекающиеся прямые a и b, а в плоскости β — пересекающиеся прямые a₁ и b₁. Известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β.

1. Проверяем условие в α: a и b лежат в ней и пересекаются.
2. В β прямые a₁ и b₁ тоже лежат в этой плоскости и пересекаются.
3. По условию каждой прямой первой пары соответствует параллельная ей прямая второй пары. Значит, выполнены все условия признака параллельности плоскостей.
4. Применяем признак и записываем вывод.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2. Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b, и найдите длину неизвестного перпендикуляра, если другой перпендикуляр между α и β равен 6 см.

1. Если бы a и b пересекались, их общая точка принадлежала бы и α, и β. Это противоречит тому, что данные плоскости параллельны, поэтому a и b не пересекаются.
2. Обе прямые лежат в γ. В одной плоскости непересекающиеся прямые параллельны, следовательно, a ∥ b.
3. Перпендикулярное расстояние между α и β постоянно. Поэтому перпендикуляр, длина которого неизвестна, равен заданному перпендикуляру.

Ответ: a ∥ b; длина неизвестного перпендикуляра равна 6 см.

Задача 3. Через точку M вне плоскости α проведите плоскость, параллельную α, и докажите, что она только одна.

1. В α выберем пересекающиеся прямые a и b. Через M проведём прямые a₁ ∥ a и b₁ ∥ b; они пересекаются в M и задают плоскость β.
2. В α и β находятся две пересекающиеся прямые, параллельные соответственно. По признаку β ∥ α, значит, искомая плоскость построена.
3. Предположим, что есть другая такая плоскость через M. Проведённые через M параллели к a и b должны лежать и в ней, и в β.
4. Поскольку две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость, другая плоскость совпадает с β.

Ответ: через M проходит единственная плоскость, параллельная α.

Типичные ошибки

Считать, что для признака достаточно одной пары параллельных прямых, — ошибка: одна пара не фиксирует направление плоскости целиком и не исключает пересечения. Её допускают, перенося на плоскости рассуждение о параллельности прямых. Проверьте себя: в условии должны быть две пересекающиеся прямые в каждой плоскости и две соответствующие пары параллельных прямых.

Нельзя забывать проверить, что выбранные прямые действительно лежат в указанных плоскостях и пересекаются внутри каждой из них. Иногда на чертеже кажется, что прямые пересекаются, хотя одна из них вообще не принадлежит нужной плоскости. Выпишите принадлежность прямых плоскостям и отдельно укажите точку пересечения каждой пары.

Не следует заключать, что плоскости параллельны, лишь потому, что они не пересекаются на рисунке. Чертёж показывает только часть пространства и может вводить в заблуждение, поэтому требуется доказательство по определению или признаку. Проверьте, что вывод основан на заданных условиях, а не на перспективе изображения.

Любой отрезок между плоскостями не является расстоянием: наклонный отрезок длиннее перпендикулярного. Ошибка возникает, если измерять расстояние по удобному направлению на чертеже. Чтобы проверить ответ, убедитесь, что выбранный отрезок образует прямой угол с плоскостью, к которой он проведён.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскостей и признак параллельности прямых. Эти знания помогают проверять, где лежат выбранные прямые и какие выводы допустимы в пространстве. Параллельность плоскостей пригодится при решении задач на сечения многогранников. Она также служит основой для изучения расстояний и углов в пространстве.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Две пересекающиеся прямые в каждой из двух плоскостей позволяют применить признак параллельности.
• Параллельные плоскости, пересечённые третьей, дают параллельные прямые пересечения.
• Через точку вне плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.
• Перпендикулярное расстояние между параллельными плоскостями постоянно.