§ 3. Параллельность плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это две плоскости, не имеющие общих точек. Их обозначают α ∥ β. Определение помогает отличить параллельные плоскости от пересекающихся: у последних есть общая прямая.

Признак параллельности плоскостей формулируется так: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Условие о пересечении прямых обязательно. Признак нужен, чтобы устанавливать параллельность плоскостей через уже известные отношения между прямыми.

Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечь третьей, то линии пересечения параллельны. Это свойство позволяет находить направления сечений и использовать их в доказательствах. Здесь и далее предполагается, что третья плоскость пересекает обе исходные плоскости.

Как это устроено

Чтобы доказать, что плоскости параллельны, достаточно найти в одной из них две пересекающиеся прямые, параллельные двум прямым другой плоскости. Две пересекающиеся прямые задают положение плоскости, поэтому проверять каждую её точку не требуется. Соответствующие параллельные направления показывают, что плоскости не имеют общей точки. Это и позволяет применить признак.

Причину признака можно увидеть от противного. Предположим, что плоскости пересекаются, и обозначим их общую прямую через c. Если в одной плоскости прямая параллельна прямой другой плоскости, то она должна быть параллельна линии пересечения c: обе прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. То же рассуждение относится ко второй паре прямых, поэтому две пересекающиеся прямые одной плоскости оказались бы параллельны одной и той же прямой c. Но через точку нельзя провести две различные прямые, параллельные данной; это противоречит их пересечению.

Рассмотрим две параллельные плоскости и пересекающую их третью. Их линии пересечения лежат в третьей плоскости, поэтому могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Если бы они пересеклись, общая точка принадлежала бы обеим исходным плоскостям. Это невозможно, поскольку параллельные плоскости не имеют общих точек; значит, линии пересечения параллельны.

Свойства плоскостей помогают получать факты о прямых. Например, если прямые лежат в одной секущей плоскости и являются линиями пересечения с двумя параллельными плоскостями, они параллельны. Чтобы сравнить отрезки между параллельными плоскостями, проведём через две параллельные прямые плоскость. В ней получится параллелограмм: его стороны лежат на параллельных прямых, а отрезки между исходными плоскостями — противоположные стороны, поэтому они равны.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной. Для построения через точку проводят две прямые, параллельные двум пересекающимся прямым исходной плоскости; новые прямые задают плоскость и позволяют применить признак. Такая плоскость единственна: любая другая плоскость через ту же точку, параллельная исходной, должна иметь те же два направления. Через точку проходят единственные прямые каждого из этих направлений, а две пересекающиеся прямые определяют только одну плоскость.

Параллельные плоскости: определение, признак и свойства

Сначала выбери строку, соответствующую условию задачи, затем проверь, выполнены ли все условия утверждения. В решении назови определение, признак или свойство, на которое опираешься. Одного сходства с рисунком для вывода недостаточно.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b. В плоскости β проведены прямые a₁ и b₁, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β.

1. Проверяем условие признака: прямые a и b лежат в α и пересекаются. Это существенно, так как именно две пересекающиеся прямые задают плоскость.

2. Сопоставляем прямые: a параллельна a₁, а b параллельна b₁; прямые a₁ и b₁ лежат в β. Значит, выполнены обе пары параллельности, указанные в признаке.

3. Применяем признак параллельности плоскостей. Получаем α ∥ β.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2. Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b.

1. Линии a и b лежат в одной плоскости γ, поскольку являются её пересечениями с α и β. Поэтому их взаимное положение можно рассматривать в этой плоскости.

2. Предположим, что a и b пересекаются в точке P. Тогда P принадлежала бы и α, и β, ведь a лежит в α, а b — в β.

3. Это противоречит условию α ∥ β: такие плоскости не имеют общих точек. Следовательно, прямые a и b не пересекаются и лежат в одной плоскости, значит, они параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3. Плоскости α и β параллельны. Параллельные прямые пересекают их в точках A и B, а также A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что AB = A₁B₁.

1. Проведём плоскость через две данные параллельные прямые. В ней отрезки AB и A₁B₁ лежат на этих прямых и соединяют точки двух исходных плоскостей.

2. Плоскость пересекает α и β по прямым AA₁ и BB₁. Эти линии параллельны по свойству сечения двух параллельных плоскостей третьей.

3. Четырёхугольник ABA₁B₁ имеет две пары параллельных противоположных сторон, поэтому это параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны равны, откуда AB = A₁B₁.

Ответ: AB = A₁B₁.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что одной пары параллельных прямых достаточно для вывода о параллельности плоскостей. Одна прямая не задаёт положение плоскости, поэтому такой вывод не следует из признака. Проверяй, есть ли ещё одна пара прямых и пересекаются ли две прямые, выбранные в одной плоскости.

Ошибка: не проверять пересечение прямых, на которые ссылаются в признаке. Ученик может увидеть две параллельные пары и сразу объявить плоскости параллельными, хотя прямые в одной плоскости могут быть параллельны между собой. Перед применением признака отдельно укажи, что выбранные прямые пересекаются.

Ошибка: считать плоскости параллельными только потому, что на рисунке они не пересекаются. Чертёж изображает лишь часть пространства и не доказывает отсутствие общих точек. Обосновывай вывод определением или признаком, а рисунок используй только для ориентира.

Ошибка: утверждать, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью совпадают. Эти линии лежат в секущей плоскости и не пересекаются, а потому параллельны; совпадение из условия не следует. Для самопроверки назови, в каких плоскостях лежат прямые и почему у них не может быть общей точки.

Связь с другими темами

Для изучения темы понадобятся определения параллельных и пересекающихся прямых, а также свойства параллельных прямых. Нужно уметь определять, какие точки и прямые задают плоскость, и применять аксиомы стереометрии. Эти знания помогают разбирать сечения многогранников и задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей. Позже они пригодятся при параллельном проектировании, где важно сохранять параллельность направлений.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Для применения признака нужны две пересекающиеся прямые в одной плоскости.
• Эти прямые должны быть соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.
• Сечение двух параллельных плоскостей третьей даёт параллельные линии пересечения.
• Рисунок помогает увидеть расположение, но не заменяет доказательство.
• Для каждого случая вывода указывай определение, признак или свойство, на которое опираешься.