§ 3. Параллельность плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это плоскости, не имеющие общих точек. Если плоскости α и β параллельны, пишут α ∥ β. Такое определение позволяет отличить параллельные плоскости от пересекающихся не по виду чертежа, а по их общим точкам. Оно понадобится, чтобы формулировать признак параллельности и его следствия.

Пересекающиеся плоскости — это две плоскости, имеющие общую прямую. В пространстве две различные плоскости не могут иметь ровно одну общую точку: если у них есть общая точка, то вместе с ней у них есть и целая прямая. Значит, две различные плоскости либо пересекаются по прямой, либо не имеют общих точек и параллельны. Это разделение помогает определить, какой именно случай рассматривается в задаче.

Параллельными прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, называют прямые из разных плоскостей, которые не имеют общих точек. Если a лежит в α, b лежит в β и α ∥ β, то прямые a и b не пересекаются и параллельны. Такое расположение важно отличать от параллельных прямых внутри одной плоскости. На нём основаны признак плоскостей и свойство отрезков между ними.

Как это устроено

Почему две различные плоскости либо пересекаются по прямой, либо не имеют общих точек? Если они имеют две общие точки, то через эти точки проходит прямая, которая принадлежит обеим плоскостям. Если бы нашлась ещё одна общая точка вне этой прямой, через три точки можно было бы провести только одну плоскость, и плоскости совпали бы. Поэтому у различных плоскостей все общие точки лежат на одной прямой, а отсутствие общих точек означает параллельность.

Признак параллельности плоскостей формулируется так: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Две пересекающиеся прямые определяют направления внутри первой плоскости, а соответствующие им параллельные прямые показывают те же направления во второй. Проверка обеих пар не позволяет сделать вывод только по одному совпавшему направлению. Поэтому в условии принципиальны и две пары параллельных прямых, и пересечение прямых в одной плоскости.

Разберём идею доказательства признака. Возьмём точку одной плоскости и проведём через неё прямые, параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, поэтому проведённые прямые задают плоскость, параллельную заданной второй плоскости по принятому признаку. Если исходные плоскости пересекались бы, их общая прямая противоречила бы такому расположению: линии, параллельные двум направлениям плоскости, принадлежат параллельной ей плоскости. Значит, исходные плоскости не пересекаются и параллельны.

Следствие о сечении гласит: если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α и β, то она пересекает и другую, причём линии пересечения параллельны. Действительно, если γ не пересекала бы β, то была бы параллельна β; тогда она не могла бы пересекать α, параллельную β. Линии пересечения лежат в γ, а при пересечении они означали бы общую точку α и β. Поэтому эти линии не пересекаются и, находясь в одной плоскости γ, параллельны.

Ещё одно следствие: отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. Чтобы понять почему, перенесём один отрезок параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом другого. Перенос сохраняет длину и направление, а концы обоих отрезков лежат на одной из параллельных плоскостей; соответствующие соединяющие отрезки образуют равные треугольники. Отсюда равны и отрезки, заключённые между плоскостями.

Параллельность плоскостей: признак и следствия

Сначала найди условия задачи в средней колонке, затем проверь, можно ли применить утверждение из первой. В последней колонке указан вывод, который разрешено сделать только после проверки всех условий. Таблица помогает не смешивать определение, признак и следствия.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b, а в плоскости β — прямые a₁ и b₁. Известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β. Здесь нужно не строить дополнительные фигуры, а сопоставить данное с условиями признака.

1. Выпишем две прямые в α: a и b. По условию они пересекаются, значит, выполнено требование о пересекающихся прямых одной плоскости.
2. Прямые a₁ и b₁ лежат в β и соответственно параллельны a и b. Таким образом, выполнены обе пары параллельности из признака.
3. Применяем признак параллельности плоскостей: α ∥ β. Проверка пересечения a и b здесь необходима, иначе условия признака были бы неполными.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2. Плоскости α и β параллельны. Плоскость γ пересекает α по прямой a. Докажите, что γ пересекает β по прямой b и что a ∥ b. Главный шаг — применить следствие именно к третьей плоскости γ, а затем установить взаимное положение получившихся линий.

1. Известно, что γ пересекает α, а α ∥ β. По следствию о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью γ должна пересечь и β.
2. Обозначим линию пересечения γ и β через b. Линия пересечения γ и α уже обозначена a.
3. Обе прямые a и b лежат в γ. Они не могут пересекаться, поскольку тогда их общая точка принадлежала бы одновременно α и β, а эти плоскости не имеют общих точек.
4. Две непересекающиеся прямые одной плоскости параллельны, следовательно, a ∥ b.

Ответ: γ пересекает β по прямой b, причём a ∥ b.

Задача 3. Плоскости α и β параллельны. Параллельные прямые a и b пересекают их в точках A, B и A₁, B₁ соответственно, где A, A₁ принадлежат α, а B, B₁ — β. Докажите, что AB = A₁B₁. Здесь отрезки AB и A₁B₁ лежат на параллельных прямых и заключены между одной и той же парой параллельных плоскостей.

1. Через точку A₁ проведём прямую, параллельную AB. Она лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые a и b, и пересекает β в точке C.
2. Четырёхугольник AA₁CA? не нужен: удобнее рассмотреть перенос. Перенос отрезка AB на вектор AA₁ переводит A в A₁, а прямую a — в параллельную ей прямую b.
3. При таком переносе точка B переходит в точку пересечения b с β, то есть в B₁: перенос сохраняет направление, а обе точки лежат на одной линии пересечения с β. Перенос сохраняет длины, поэтому AB = A₁B₁.

Ответ: AB = A₁B₁.

Типичные ошибки

Ошибка — считать плоскости параллельными, найдя в каждой по одной параллельной прямой. Одного направления недостаточно: пересекающиеся плоскости тоже могут содержать такие прямые. Проверь себя: для признака должны быть две прямые в одной плоскости, которые пересекаются, и две соответствующие им параллельные прямые в другой.

Иногда нужные прямые выбраны, но не проверено, что они лежат именно в рассматриваемых плоскостях. Тогда нельзя применить признак, даже если нарисованные линии кажутся подходящими. Подпиши, какой плоскости принадлежит каждая прямая, и отдельно отметь пары параллельных прямых.

Чертёж может изображать плоскости как непересекающиеся, но это не доказывает их параллельность. Пространственная фигура на листе показана условно, поэтому линии могут выглядеть иначе, чем расположены в действительности. Проверяй общие точки по условию или используй теорему, а не только внешний вид рисунка.

Нельзя применять равенство отрезков между плоскостями к любым двум отрезкам. Они должны быть заключены между параллельными плоскостями и лежать на параллельных прямых. Перед выводом о равенстве отметь оба этих условия; если хотя бы одно не установлено, свойство неприменимо.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, а также факт, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. При доказательствах пригодятся свойства параллельных прямых и умение провести через точку прямую, параллельную заданной. Признак плоскостей и его следствия помогают исследовать расположение прямых и плоскостей, а также разбирать сечения многогранников.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Две различные плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.
• Для признака нужны две пересекающиеся прямые в одной плоскости и параллельные им прямые в другой.
• Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
• Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.