10. Параллельные плоскости

Определения и обозначения

Две плоскости называют параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Это определение относится к плоскостям целиком: недостаточно сравнить лишь отдельные прямые, которые в них лежат. Если плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Такое определение помогает понять, какое именно отношение нужно доказать в задаче.

Параллельность плоскостей записывают так: α ∥ β, где α и β — названия плоскостей. На пространственном чертеже плоскости обычно изображают параллелограммами, а знак ∥ ставят рядом с их обозначениями или указывают в условии. Рисунок помогает увидеть расположение объектов, но не доказывает, что плоскости действительно параллельны. Для доказательства нужны условия теоремы.

Признак параллельности плоскостей формулируется так: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Слово «соответственно» означает, что каждая прямая сопоставлена своей параллельной: например, a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Признак нужен, чтобы перейти от параллельности прямых к обоснованному выводу о плоскостях. При его применении обязательно проверяют пересечение прямых в одной из плоскостей.

Как это устроено

В признаке нужны именно две пересекающиеся прямые, потому что через них проходит одна определённая плоскость. Одна прямая задаёт направление, но через неё можно провести множество плоскостей. Если же в этой плоскости есть две пересекающиеся прямые, параллельные двум прямым другой плоскости, условия уже связывают обе плоскости, а не только отдельные направления. Поэтому пересечение — не случайная деталь формулировки, а необходимая часть признака.

Чтобы применить признак, сначала обозначь плоскости и найди в одной из них две прямые, которые пересекаются. Затем подбери во второй плоскости прямые, параллельные им соответственно. Проверь каждую пару отдельно: a ∥ a₁, b ∥ b₁. Только после этой проверки можно сослаться на признак и записать, что плоскости параллельны.

Для параллельных плоскостей действует отдельное свойство: если две параллельные плоскости пересечены третьей, прямые их пересечения параллельны. Здесь важны оба условия: исходные плоскости уже должны быть параллельны, а третья плоскость должна пересекать каждую из них. Например, если α и β параллельны, а γ пересекает их по прямым a и b, то a ∥ b. Так получают параллельность линий сечения, не сравнивая их направление по рисунку.

Обоснование свойства опирается на положение линий пересечения. Прямые пересечения лежат в одной плоскости — той, которая пересекает обе исходные плоскости. Если бы эти прямые пересеклись, точка пересечения принадлежала бы и α, и β. Но параллельные плоскости не имеют общих точек, значит, линии не пересекаются; в одной плоскости две непересекающиеся прямые параллельны.

Теоремы помогают не смешивать утверждения о прямых и о плоскостях. Параллельные прямые в разных плоскостях не доказывают, что сами плоскости параллельны: они могут пересекаться по другой прямой. На пространственном чертеже полезно отметить, какие прямые лежат в каждой плоскости, какие пары параллельны и где прямые пересекаются. Затем вывод обосновывают признаком или свойством, а не внешним видом рисунка.

Признак и свойство параллельных плоскостей

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала найди условия задачи, затем выбери подходящую строку. Для признака проверь две вещи — пересечение прямых в одной плоскости и соответствие параллельных пар. Для свойства сначала установи параллельность исходных плоскостей, а потом убедись, что обе пересечены одной третьей плоскостью.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b. В плоскости β проведены прямые a₁ и b₁, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β. Здесь уже дана пара параллельных пар, поэтому нужно проверить оставшееся условие признака. После этого можно сделать вывод о плоскостях.

1. В плоскости α лежат прямые a и b, и по условию они пересекаются. Значит, это именно две пересекающиеся прямые, которые нужны в признаке. Условие о пересечении нельзя опускать, даже если на чертеже оно выглядит очевидным.

2. По условию a ∥ a₁ и b ∥ b₁, причём a₁ и b₁ лежат в β. Следовательно, прямые a и b соответственно параллельны двум прямым плоскости β. Это полностью совпадает с условиями признака параллельности плоскостей.

3. Применяем признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Поэтому α ∥ β. В ответе стоит назвать признак, а не ссылаться только на вид чертежа.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2

Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b. Прямые a и b обе принадлежат плоскости γ, поскольку являются линиями пересечения с ней. Значит, можно применить свойство параллельных плоскостей.

1. Запишем данные: α ∥ β, а плоскость γ пересекает α по прямой a и β по прямой b. Тем самым выполнено условие о пересечении двух параллельных плоскостей третьей. Обе линии пересечения лежат в одной плоскости γ.

2. По свойству параллельных плоскостей прямые, по которым они пересекаются с третьей плоскостью, параллельны. В данном случае это прямые a и b. Дополнительно доказывать их параллельность по рисунку не требуется.

3. Следовательно, a ∥ b. В рассуждении важно указать, что параллельны именно плоскости α и β и что обе пересечены одной плоскостью γ. Без этого ссылаться на свойство нельзя.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3

В α лежат пересекающиеся прямые a и b, а в β — прямые a₁ и b₁; известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Плоскость γ пересекает α и β по прямым c и d. Докажите, что c ∥ d. Здесь вывод получается в два этапа: сначала о плоскостях, затем о линиях их пересечения с γ. Порядок важен, потому что второй этап требует уже доказанной параллельности плоскостей.

1. Прямые a и b лежат в α и пересекаются по условию. Кроме того, a ∥ a₁ и b ∥ b₁, где a₁ и b₁ лежат в β. Условия признака выполнены, поэтому α ∥ β.

2. Теперь используем данные о плоскости γ: она пересекает α и β по прямым c и d. Значит, γ является третьей плоскостью, пересекающей две параллельные плоскости. К этому случаю применимо свойство параллельных плоскостей.

3. По свойству прямые пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны. Следовательно, c ∥ d. В решении отдельно названы признак и свойство, потому что они используются на разных шагах.

Ответ: c ∥ d.

Типичные ошибки

Считать плоскости параллельными по одной паре параллельных прямых — ошибка: такие прямые могут находиться и в пересекающихся плоскостях. Обычно вывод делают слишком быстро, перенося знакомое свойство прямых на плоскости. Проверь себя: найдены ли ещё две прямые, и пересекаются ли они в одной плоскости? Если нет, признак пока неприменим.

Не проверять, пересекаются ли прямые в первой плоскости, тоже нельзя. Две параллельные между собой прямые не задают нужного условия признака, хотя на чертеже могут выглядеть как достаточная опора. Перед выводом явно укажи точку их пересечения или сослаться на данное условие об этом. Если пересечение не установлено, нельзя заключать, что плоскости параллельны.

Параллельность отдельных прямых не равна параллельности плоскостей, которые их содержат. Эту ошибку допускают, потому что в планиметрии часто достаточно рассуждать о паре прямых, а в пространстве объектов больше. Проверь, о чём именно говорится в заключении задачи: о прямых или о плоскостях. Для плоскостей используй признак с двумя пересекающимися прямыми.

Нельзя применять свойство о линиях пересечения, пока не установлено, что исходные плоскости параллельны и обе пересечены одной третьей плоскостью. Иногда это свойство вспоминают по одному только виду сечения. Сверь условие с формулировкой: назови параллельные плоскости и плоскость, которая пересекает каждую из них. Если чего-то не хватает, сначала докажи недостающее или не делай вывод о параллельности линий.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение параллельных прямых и критерии их параллельности: именно отношения между прямыми используются в признаке для плоскостей. Также важно понимать, как прямые и точки задают плоскость, в частности почему две пересекающиеся прямые определяют её однозначно. Это связывает планиметрию с рассуждениями в пространстве. Без этих знаний трудно проверить условия признака.

Тема опирается на аксиомы стереометрии — основные утверждения о точках, прямых и плоскостях в пространстве. Признак и свойство параллельных плоскостей применяются в доказательствах, в том числе при изучении сечений многогранников. Например, с их помощью обосновывают параллельность линий, по которым секущая плоскость пересекает грани. Чертёж при этом помогает организовать рассуждение, но не заменяет его.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Чтобы доказать параллельность плоскостей, найди две пересекающиеся прямые в одной из них.
• Эти две прямые должны быть соответственно параллельны прямым другой плоскости.
• Параллельные плоскости, пересечённые третьей, дают параллельные линии пересечения.
• В доказательстве указывай, какое именно условие теоремы использовано.