§ 9. Параллельные плоскости

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это две плоскости, которые не пересекаются. Их обозначают так: α ∥ β. В пространстве такие плоскости сохраняют постоянное направление и не имеют общей точки.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Признак нужен, чтобы заменить проверку взаимного положения всех точек плоскостей проверкой двух подходящих прямых.

Если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то линии их пересечения будут параллельны. Это свойство позволяет находить направление сечения, даже когда пространственный чертёж выглядит сложным.

Отрезками между параллельными плоскостями называют части параллельных прямых, заключённые между этими плоскостями. Такие отрезки равны, если они лежат на параллельных прямых и соединяют одни и те же две параллельные плоскости.

Как это устроено

Почему в признаке нужны две пересекающиеся прямые? Пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость, поэтому они передают информацию о всей плоскости, а не только об одном её направлении. Если обе прямые не пересекают плоскость β, то плоскость α, которую они задают, не может пересекать β. Одной прямой для такого вывода недостаточно: через неё можно провести много разных плоскостей.

Докажем признак от противного. Пусть в плоскости α есть пересекающиеся прямые a и b, причём a ∥ β и b ∥ β, но сами α и β пересекаются по прямой c. Тогда a и c лежат в α и не пересекаются, значит, a ∥ c; точно так же b ∥ c. Точка пересечения a и b лежит на двух разных прямых, параллельных c, а через одну точку можно провести только одну такую прямую, поэтому получаем противоречие.

Рассмотрим сечение параллельных плоскостей α и β третьей плоскостью γ. Пусть a = α ∩ γ, а b = β ∩ γ. Обе прямые лежат в γ. Если бы a и b пересекались в точке P, то P принадлежала бы одновременно α и β, но параллельные плоскости общих точек не имеют. Следовательно, a и b не пересекаются и, находясь в одной плоскости, параллельны.

Равенство отрезков объясняется тем, что параллельные прямые задают направление переноса одной точки к другой. Пусть две параллельные прямые пересекают α и β в точках A, B и C, D соответственно. Четыре точки лежат в одной плоскости, а отрезки AC и BD направлены вдоль параллельных прямых; линии α ∩ этой плоскости и β ∩ этой плоскости параллельны. Получается параллелограмм, поэтому противоположные стороны AC и BD равны.

В пространственном чертеже сначала отмечают данные параллельности, например α ∥ β или a ∥ b. Затем ищут третью плоскость, в которой можно применить известное свойство: две линии сечения или два отрезка на параллельных прямых. Такой переход от пространственной фигуры к плоской часто превращает задачу в обычное рассуждение о параллельных прямых.

Признаки и следствия параллельности плоскостей

Таблицу удобно читать слева направо: сначала определить ситуацию, затем проверить условие и только после этого использовать вывод. Особенно внимательно проверяйте, что прямые пересекаются или параллельны именно там, где это требуется. Если условие не выполнено, соответствующее следствие применять нельзя.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α проведены две пересекающиеся прямые, каждая из которых параллельна плоскости β. Докажем, что α ∥ β.

1. Обозначим прямые через a и b. По условию a и b лежат в α, пересекаются и при этом a ∥ β, b ∥ β.
2. Предположим, что α и β пересекаются по прямой c. Тогда, поскольку a лежит в α и параллельна β, в плоскости α прямая a параллельна c. Аналогично b ∥ c.
3. Прямые a и b пересекаются, значит, через их общую точку проходят две прямые, параллельные c. Это противоречит единственности прямой, проходящей через точку параллельно данной.
4. Следовательно, α и β не пересекаются, поэтому α ∥ β.

Ответ: α ∥ β по признаку параллельности плоскостей.

Задача 2. Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым a и b. Докажем, что a ∥ b.

1. Имеем a = α ∩ γ и b = β ∩ γ, поэтому обе прямые лежат в плоскости γ.
2. Предположим, что a и b пересекаются в точке P. Тогда P принадлежит a и α, а также b и β.
3. Значит, P является общей точкой α и β. Это невозможно, так как α ∥ β.
4. В одной плоскости непересекающиеся прямые параллельны, поэтому a ∥ b.

Ответ: линии пересечения a и b параллельны.

Задача 3. Параллельные плоскости пересекают две параллельные прямые. На одной прямой отрезок между плоскостями равен 7 см. Найдём отрезок на второй прямой.

1. Отрезки на данных прямых заключены между одними и теми же параллельными плоскостями.
2. Сами прямые параллельны, поэтому к ним применимо свойство равенства отрезков, отсекаемых параллельными плоскостями.
3. Обозначим второй отрезок через x. Тогда x = 7 см.

Ответ: 7 см.

Типичные ошибки

Одна пара параллельных прямых. Иногда делают вывод о параллельности плоскостей, увидев по одной параллельной прямой в каждой из них. Но такие прямые не задают взаимное положение плоскостей. Проверьте, есть ли в одной плоскости именно две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости.

Путаница между прямой и плоскостью. Прямая, параллельная плоскости, не имеет с ней общих точек, а прямая, лежащая в плоскости, состоит из её точек. Перед применением признака установите, не лежит ли данная прямая в плоскости.

Неполное условие для линий сечения. Нельзя утверждать, что любые две линии пересечения параллельны. Нужно указать две параллельные плоскости и одну третью плоскость, которая пересекает обе.

Сравнение произвольных отрезков. Равенство не относится к любым отрезкам, соединяющим плоскости. Убедитесь, что они отсекаются на параллельных прямых и их концы лежат на тех же двух параллельных плоскостях.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о взаимном расположении прямых и плоскостей, а также признак параллельности прямой и плоскости. Эти понятия помогают правильно читать условие и находить нужные прямые.

Доказательства опираются на аксиомы стереометрии, свойства параллельных прямых и метод от противного. Поэтому полезно уметь находить противоречие с единственностью прямой, параллельной данной.

Свойства параллельных плоскостей применяются в задачах на сечения многогранников и расстояния в пространстве. Они позволяют переносить длины и направления с одного участка чертежа на другой.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не пересекаются.
• Две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельные другой плоскости, дают признак параллельности плоскостей.
• Третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.
• Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки.
• Перед применением признака убедитесь, что прямые в одной плоскости пересекаются.
• В доказательстве явно указывайте, какие плоскости и прямые рассматриваются.