9.1. Первый признак параллельности плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — две плоскости, которые не пересекаются. Совпадающие плоскости не называют параллельными: это одна и та же плоскость, а не две разные плоскости, расположенные отдельно. Такое определение нужно, чтобы отличать параллельность от совпадения и правильно формулировать вывод задачи.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. Например, если a и b пересекаются в точке O, это записывают a ∩ b = O. Именно такие прямые должны быть выбраны внутри каждой из плоскостей в условии признака: их пересечение даёт два различных направления в плоскости.

Первый признак параллельности плоскостей — теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Например, прямые a и b лежат в α, а a₁ и b₁ — в β; если a ∥ a₁ и b ∥ b₁, то α ∥ β. Признак нужен, чтобы доказать положение целых плоскостей, проверив свойства нескольких прямых.

Как это устроено

Сначала в первой плоскости выбирают две прямые, а затем отдельно выбирают две прямые во второй. Важно, чтобы каждая выбранная пара пересекалась: тогда внутри каждой плоскости есть два направления, исходящие из общей точки. Если выбрать прямые наугад, условие теоремы может оказаться невыполненным, даже если некоторые из них выглядят параллельными на чертеже.

Затем прямые сопоставляют попарно: одну прямую первой плоскости — одной прямой второй, а оставшуюся — оставшейся. Для каждой пары надо установить параллельность. Две пары дают сведения о двух направлениях плоскости, а именно положение двух пересекающихся направлений определяет её ориентацию в пространстве. Поэтому соответствия в обеих парах позволяют перейти от отношений прямых к выводу о плоскостях.

Пересечение прямых внутри каждой пары — не формальность. Если две прямые плоскости параллельны друг другу, они задают одно направление, а не два; это условие само по себе не определяет положение плоскости так, как нужно для применения признака. Поэтому без пересечения нельзя считать, что перед нами именно предусмотренная теоремой пара.

В условии уже должны быть известны пересечения прямых внутри каждой плоскости и параллельность соответствующих прямых. Выводом же является параллельность самих плоскостей, которую требуется обосновать. Не следует записывать α ∥ β как исходное данное: это и есть результат применения признака после проверки всех его условий.

Схему доказательства можно представить так: через точку первой плоскости проводят плоскость, параллельную второй. В новой плоскости проводят прямые, параллельные двум выбранным прямым второй плоскости. По условию они параллельны соответствующим прямым первой плоскости; поскольку пересекающиеся прямые задают плоскость, построенная плоскость совпадает с первой. Значит, первая плоскость параллельна второй.

Условие и вывод первого признака параллельности плоскостей

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала убедитесь, что в каждой плоскости есть пересекающаяся пара прямых. Затем проверьте обе пары параллельных прямых и только после этого запишите вывод о плоскостях. Если хотя бы одна строка с условиями не выполнена, признак применить нельзя.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α пересекаются прямые a и b, а в плоскости β — прямые a₁ и b₁. Известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β. Здесь требуется не найти новые прямые, а проверить, что все условия теоремы уже заданы. После проверки можно применить признак напрямую.

1. По условию a и b пересекаются и лежат в α, а a₁ и b₁ пересекаются и лежат в β.
2. Установлены обе пары соответствующих параллельных прямых: a ∥ a₁ и b ∥ b₁.
3. Все условия первого признака выполнены, поэтому α ∥ β.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Нужно доказать, что плоскости оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны, указав подходящие пары прямых. Стороны каждого основания пересекаются в вершине, поэтому можно выбрать стороны, выходящие из одной вершины. У параллелепипеда соответствующие рёбра оснований параллельны.

1. В плоскости ABCD выберем AB и AD: они пересекаются в точке A.
2. В плоскости A₁B₁C₁D₁ выберем A₁B₁ и A₁D₁: они пересекаются в точке A₁.
3. Противоположные рёбра параллелепипеда параллельны, поэтому AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁.
4. По первому признаку параллельности плоскостей получаем ABCD ∥ A₁B₁C₁D₁.

Ответ: плоскости оснований параллельны.

Задача 3

Плоскости α и β содержат соответственно пересекающиеся прямые a, b и a₁, b₁; известно, что a ∥ a₁. Достаточно ли этого, чтобы заключить, что α ∥ β? Условие сообщает только об одной паре параллельных прямых, а для первого признака нужны две пары. Поэтому следует отделить то, что уже известно, от того, чего ещё не хватает.

1. Проверяем условие: a и b пересекаются в α, a₁ и b₁ пересекаются в β.
2. Из параллельности a и a₁ следует только одно соответствие; о параллельности b и b₁ ничего не сказано.
3. Значит, применять первый признак пока нельзя. Чтобы применить его, нужно дополнительно установить b ∥ b₁.

Ответ: нет, одной пары недостаточно; требуется ещё b ∥ b₁.

Типичные ошибки

Ошибка — заключать, что плоскости параллельны, найдя только одну пару параллельных прямых. Это кажется убедительным, потому что одна пара уже задаёт общее направление, но плоскости могут иметь ещё одно направление, по которому они пересекаются. Проверьте себя: перечислите обе пары соответствующих прямых; если одной нет, вывод по признаку делать нельзя.

Ошибка — не проверять, что прямые каждой пары пересекаются внутри своей плоскости. Иногда условие замечают лишь по параллельности прямых из разных плоскостей, забывая, что теорема требует пересечения в обеих парах. Перед применением признака запишите точки пересечения: a ∩ b = O и a₁ ∩ b₁ = O₁.

Ошибка — сопоставлять прямые только по названиям или по расположению на рисунке. Буквы и вид чертежа не доказывают параллельность, а перспектива может искажать углы и расстояния. Самопроверка: отдельно укажите две пары и для каждой приведите основание, почему прямые параллельны.

Ошибка — считать, что любые две параллельные прямые, взятые в разных плоскостях, доказывают параллельность плоскостей. Такая пара сообщает лишь об одном направлении, поэтому плоскости всё ещё могут пересекаться. Проверьте, что выбраны ещё по одной прямой в каждой плоскости, они пересекают первые, а соответствующие прямые второй пары тоже параллельны.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать определения параллельных и пересекающихся прямых, а также свойства параллельных прямых в пространстве. Он помогает доказывать параллельность граней и других плоскостей многогранника: достаточно найти подходящие пары рёбер. Далее эта тема связана с другими признаками и свойствами параллельности плоскостей. Она также пригодится при построении сечений многогранников, где важно понимать взаимное расположение плоскостей.

Что запомнить

• В каждой из двух плоскостей должны быть выбраны две пересекающиеся прямые.
• Прямые из разных плоскостей сопоставляются попарно.
• Обе пары соответствующих прямых должны быть параллельны.
• При выполнении всех условий плоскости параллельны.
• Одной пары параллельных прямых для вывода недостаточно.
• Сначала проверь условия признака, затем записывай вывод о плоскостях.