"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Параллельные плоскости, пересечённые прямой или другой плоскостью, образуют закономерные фигуры: на прямых выделяются соответствующие отрезки, а линии пересечения оказываются параллельными. Эти леммы помогают находить длины в пространстве и доказывать параллельность без построения сложных сечений. Главное — правильно сопоставить отрезки между одними и теми же плоскостями и учитывать, что секущая прямая может быть параллельна плоскостям и не пересекать их.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные плоскости — плоскости, которые не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Их обычно обозначают, например, α и β, записывая α ∥ β. Это условие важно для лемм: именно отсутствие общих точек позволяет делать выводы о линиях и отрезках, возникающих при пересечении.
Секущая прямая — прямая, пересекающая одну или несколько параллельных плоскостей. Если прямая пересекла одну плоскость и не параллельна ей, то при продолжении она пересечёт и другую параллельную плоскость. Точки пересечения ограничивают отрезки, длины которых можно сравнивать.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая данные параллельные плоскости по прямым. Например, плоскость α пересекает плоскости β и γ соответственно по прямым a и b. Это определение нужно, чтобы исследовать, как расположены полученные линии внутри одной плоскости.
Леммы о пересечении с параллельными плоскостями — утверждения о взаимном расположении получающихся точек, прямых и отрезков. Леммы дают готовые основания для доказательства параллельности линий и пропорциональности отрезков. Поэтому в задаче не требуется заново устанавливать эти свойства каждый раз.
Пусть прямая пересекает плоскость α, а плоскость β параллельна α. Если бы эта прямая не пересекала β, то она должна была бы идти параллельно β. Но направление прямой, пересекающей α, не параллельно α, а значит, не параллельно и β: параллельные плоскости имеют одинаковые направления. Поэтому продолжение прямой пересекает и β. Исключение — прямая, параллельная самим плоскостям: она не встретит ни одну из них.
Когда одна прямая пересекает несколько параллельных плоскостей, точки пересечения делят её на отдельные отрезки. Сами отрезки не обязаны быть равными: расстояния между плоскостями могут различаться. Однако если взять другую секущую прямую, то отрезки между теми же парами плоскостей будут соответствующими и сохранят одно отношение. Это происходит потому, что параллельные плоскости пересекают направления секущих с одним и тем же масштабом.
Рассмотрим параллельные плоскости β и γ и секущую плоскость α. Их общие части — прямые a и b, обе лежат в α. Если бы a и b пересекались, их общая точка принадлежала бы и β, и γ. Тогда плоскости β и γ имели бы общую точку, хотя они параллельны. Значит, a и b не пересекаются; поскольку они лежат в одной плоскости, это параллельные прямые.
Такое доказательство опирается на известное свойство: две прямые в одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Линии пересечения не могут совпасть: тогда общая прямая целиком принадлежала бы обеим плоскостям β и γ, что также противоречит их параллельности. Следовательно, остаётся единственный вариант — a ∥ b. Здесь важно не путать параллельность исходных плоскостей с параллельностью линий, которые получены при пересечении их третьей плоскостью.
Если параллельных плоскостей несколько, каждая секущая прямая пересекает их в одном и том же порядке. Отрезки между первой и второй плоскостями соответствуют таким же отрезкам на другой прямой; то же верно для интервалов между второй и третьей и далее. Отношения соответствующих длин одинаковы, поэтому известный отрезок можно использовать как масштаб для нахождения неизвестных. Для проверки пропорции достаточно убедиться, что в ней сравниваются интервалы между одинаковыми парами плоскостей.
| Секущий объект | Условие | Результат пересечения | Главный вывод |
|---|---|---|---|
| Несколько секущих прямых | Прямые пересекают одни и те же параллельные плоскости | На них выделяются соответствующие отрезки | Соответствующие отрезки пропорциональны |
Сначала определи, какие именно плоскости ограничивают рассматриваемые отрезки, и только затем сравнивай их длины. Таблица относится к соответствующим отрезкам, а не к любым отрезкам на прямых. Для линий, полученных при пересечении параллельных плоскостей секущей плоскостью, действует отдельный вывод: эти линии параллельны.
Задача 1. Три параллельные плоскости пересекают две секущие прямые. На одной прямой отрезки между соседними плоскостями равны 4 см и 6 см, а первый соответствующий отрезок на другой прямой равен 8 см. Найти второй отрезок.
Сопоставим интервалы в одинаковом порядке: отрезку 4 см соответствует 8 см, а отрезку 6 см — неизвестная длина x.
Запишем пропорцию 4/6 = 8/x. Перемножим крест-накрест: 4x = 48.
Разделим обе части на 4: x = 12 см. Значит, второй отрезок на другой прямой равен 12 см.
Ответ: 12 см.
Задача 2. Плоскость α пересекает параллельные плоскости β и γ по прямым a и b. Доказать, что a ∥ b.
Так как a и b получены пересечением с плоскостью α, обе прямые лежат в α.
Предположим, что a и b пересекаются в точке P. Тогда P принадлежит и β, и γ, поскольку лежит на обеих линиях пересечения.
Это невозможно: β и γ параллельны и не имеют общих точек. Поэтому a и b не пересекаются, а две непересекающиеся прямые одной плоскости параллельны.
Ответ: a ∥ b.
Задача 3. Несколько параллельных плоскостей пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне отрезки 3 см, 5 см и 7 см. На другой стороне первый соответствующий отрезок равен 6 см. Найти остальные отрезки.
Первому отрезку 3 см соответствует отрезок 6 см, поэтому коэффициент перехода между сторонами угла равен 6/3 = 2.
На второй стороне соответствующие отрезки вдвое больше: для 5 см получаем 5 · 2 = 10 см.
Для 7 см получаем 7 · 2 = 14 см. Проверка: отношения 6/3, 10/5 и 14/7 все равны 2.
Ответ: 10 см и 14 см.
Ошибка — считать, что любые отрезки на одной секущей прямой равны. Равенство возникает лишь при дополнительных условиях, например если плоскости отсекают равные интервалы на данной прямой. Его допускают, перенося свойство равномерной разметки на произвольное расположение плоскостей. Проверь, заданы ли равные расстояния между плоскостями или соответствующие равные отрезки: если нет, равенство не следует.
Не следует смешивать параллельность плоскостей с параллельностью прямых, полученных при пересечении этих плоскостей третьей. Линии пересечения параллельны не сами по себе, а потому, что лежат в одной секущей плоскости и не пересекаются. Для самопроверки назови секущую плоскость и убедись, что обе линии действительно лежат в ней.
Неверная пропорция часто возникает, когда сравнивают несоответствующие отрезки. Например, интервал между первой и второй плоскостями нельзя сопоставить с интервалом между второй и третьей, если сравнение должно идти по одинаковым промежуткам. Ошибку допускают, ориентируясь только на длины, а не на расположение. Перед записью пропорции пронумеруй плоскости и отметь, какие из них ограничивают каждый отрезок.
Нельзя утверждать, что любая прямая пересекает параллельные плоскости. Прямая, параллельная плоскостям, не имеет с ними общих точек, хотя может находиться вне их. Такое утверждение появляется, если забыть проверить направление прямой. Для самопроверки выясни, пересекает ли она первую плоскость: если она параллельна плоскостям, пересечения не будет ни с одной из них.
Для работы с леммами нужны определения параллельных прямых и плоскостей, признаки параллельности, а также свойства пересекающихся плоскостей. Пропорциональность отрезков связывает пространственную геометрию с теоремой Фалеса: параллельные плоскости в пространстве играют роль параллельных прямых на плоскости. Эти результаты применяются при доказательствах, связанных с длинами и отношениями отрезков, при изучении объёмов и построении сечений многогранников. Поэтому умение находить линии пересечения помогает переводить пространственную задачу к знакомым планиметрическим рассуждениям.
Почему секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым?
Каждая линия пересечения лежит в секущей плоскости. Если бы эти линии пересекались, их общая точка принадлежала бы обеим параллельным плоскостям, а у таких плоскостей общих точек нет. Значит, линии не пересекаются и в одной плоскости параллельны.
Всегда ли прямая, пересекающая одну параллельную плоскость, пересекает и другую?
Да, если прямая не параллельна этим плоскостям: продолжая её, она пересечёт и вторую. Если же прямая параллельна плоскостям, она не пересекает ни одну из них.
Какие именно отрезки можно считать соответствующими?
Это отрезки, заключённые между одной и той же парой параллельных плоскостей на разных секущих прямых. При нескольких плоскостях сопоставляй отрезки в одинаковом порядке: например, между первой и второй, а затем между второй и третьей.
Почему отрезки на разных секущих прямых пропорциональны?
Параллельные плоскости одинаково пересекают направления секущих прямых: расстояния между соседними плоскостями изменяются на прямых с одним и тем же масштабом. Поэтому отношения соответствующих отрезков на двух секущих прямых равны.
Как понять, какую пропорцию составить в задаче?
Сначала отметь, между какими плоскостями лежит каждый известный отрезок, и найди ему соответствующий отрезок на другой прямой. Затем запиши равенство отношений в одинаковом порядке, например 4/6 = 8/x. Перед вычислением проверь, что в числителях и знаменателях стоят отрезки между соответствующими парами плоскостей.
9.2. Леммы о пересечении прямой или плоскости с параллельными плоскостями
