9.3. Основная теорема о параллельных плоскостях

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — плоскости, которые не имеют общих точек; записывают α ∥ β. Это не то же самое, что совпадение: совпадающие плоскости имеют общие точки, потому что фактически являются одной плоскостью. Определение помогает точно описать взаимное положение плоскостей в пространстве.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой, то плоскости параллельны. Пересекающиеся прямые задают плоскости, а параллельность пар связывает их направления. Признак нужен, чтобы доказывать параллельность не по рисунку, а по проверяемым условиям.

Основная теорема о параллельных плоскостях в этом параграфе обосновывает признак: параллельность двух пар пересекающихся прямых приводит к параллельности содержащих их плоскостей. Иными словами, из свойств прямых можно сделать вывод о взаимном положении целых плоскостей. Это особенно полезно, когда плоскости заданы гранями многогранника.

Сечения параллельных плоскостей третьей плоскостью — это линии, по которым секущая плоскость пересекает каждую из них. Такие линии параллельны друг другу. Это свойство позволяет находить и доказывать отношения между элементами пространственных фигур.

Как это устроено

Почему достаточно найти по две пары параллельных прямых? Две пересекающиеся прямые однозначно определяют плоскость, поэтому выбранные пары описывают обе плоскости полностью. Параллельность соответствующих прямых означает, что направления внутри плоскостей согласованы. Признак превращает это наблюдение в строгий вывод: плоскости не пересекаются, то есть параллельны.

Идею доказательства удобно увидеть через одну из прямых. Пусть a и b пересекаются в плоскости α, а c и d пересекаются в плоскости β; a ∥ c и b ∥ d. Рассмотрим плоскость, проходящую через a и параллельную β: такая плоскость существует, если a не лежит в β. Через точку пересечения a и b в этой плоскости проходит единственная прямая, параллельная c; поскольку b ∥ d и c, d лежат в β, направления второй пары также согласуются. Поэтому эта плоскость содержит и b, а значит, содержит α; по построению она параллельна β, откуда α ∥ β.

Условие о пересечении прямых нельзя убрать. Две параллельные прямые могут лежать в разных плоскостях, которые пересекаются, например, по прямой, параллельной им. Более того, через одну прямую можно провести множество плоскостей. Поэтому одна пара параллельных прямых не позволяет однозначно задать плоскость и доказать параллельность двух плоскостей.

Пусть третья плоскость γ пересекает α и β по прямым m и n. Если бы m и n пересекались, точка пересечения лежала бы в γ, α и β одновременно. Тогда у α и β была бы общая точка, что невозможно для параллельных плоскостей. Значит, m и n не пересекаются; поскольку они лежат в одной плоскости γ, это параллельные прямые.

По чертежу можно заметить соответствующие параллельные рёбра или линии сечения, но рисунок сам по себе не является доказательством. Запишите, какие прямые пересекаются в каждой плоскости и какие пары параллельны, например a, b ⊂ α, c, d ⊂ β, a ∩ b ≠ ∅, c ∩ d ≠ ∅, a ∥ c, b ∥ d. Только после проверки этих условий следует писать α ∥ β.

Признаки и следствия параллельности плоскостей

В таблице сначала найдите условие, которое действительно дано в задаче, а затем выберите соответствующий вывод. Для признака плоскостей отдельно проверьте пересечение прямых в каждой паре. Следствие о сечениях применяйте, только если обе линии получены пересечением одной секущей плоскости с параллельными плоскостями.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α взяты пересекающиеся прямые a и b, а в плоскости β — пересекающиеся прямые c и d. Известно, что a ∥ c и b ∥ d. Докажем, что α ∥ β. Здесь важно не только сопоставить направления прямых, но и проверить, что каждая пара задаёт свою плоскость.

1. По условию a и b пересекаются и лежат в α, а c и d пересекаются и лежат в β.
2. Установлено соответствие: a ∥ c и b ∥ d. Значит, выполнено условие признака параллельности плоскостей.
3. Применяем признак и получаем α ∥ β.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2

Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым m и n. Докажем, что m ∥ n. Обе линии принадлежат γ, поэтому если они не пересекаются, то параллельны; достаточно исключить их пересечение.

1. Предположим противное: m и n пересекаются в точке P.
2. Так как m — линия пересечения γ и α, точка P принадлежит α. Так как n — линия пересечения γ и β, точка P принадлежит β.
3. Получается, что α и β имеют общую точку, хотя по условию α ∥ β. Противоречие означает, что m и n не пересекаются.
4. Прямые m и n лежат в одной плоскости γ и не пересекаются, следовательно, m ∥ n.

Ответ: m ∥ n.

Задача 3

В параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ требуется доказать параллельность плоскостей оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁, а затем найти угол между диагональю и одной из этих плоскостей. Обозначим плоскости оснований α и β. Для угла нужны выбранная диагональ и размеры параллелепипеда: без них численное значение определить нельзя.

1. В основании ABCD возьмём пересекающиеся стороны AB и AD.
2. В верхнем основании соответствующие стороны A₁B₁ и A₁D₁ пересекаются в A₁. По свойствам параллелепипеда AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁.
3. По признаку параллельности плоскостей получаем α ∥ β.
4. Если рассматривается диагональ AC₁ и плоскость основания ABCD, её ортогональная проекция на основание — AC. Искомый угол равен углу между AC₁ и AC; его величина зависит от высоты и длины AC, например tg φ = AA₁ / AC.

Ответ: плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны; численное значение угла без размеров фигуры найти нельзя.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать плоскости параллельными по одной паре параллельных прямых. Так думают, потому что на плоском рисунке направления выглядят убедительно, но плоскости могут пересекаться. Проверьте себя: указаны ли ещё две параллельные прямые, образующие пересекающуюся пару в каждой плоскости?

Вторая ошибка — забывать, что прямые, используемые в признаке, должны пересекаться внутри каждой плоскости. Без этого они не задают её однозначно, и применение признака необоснованно. Перед выводом α ∥ β запишите точки пересечения или прямо укажите, что соответствующие прямые пересекаются.

Третья ошибка — называть любые две плоскости без пересечения параллельными, не разобрав их положение. При этом можно перепутать различные параллельные плоскости с совпадающими, у которых общие все точки. Проверьте, что речь идёт о разных плоскостях и что условие действительно исключает общие точки.

Четвёртая ошибка — делать вывод о параллельности линий сечения, не называя секущую плоскость. Свойство работает, когда одна и та же плоскость пересекает две параллельные плоскости. Укажите плоскость γ и линии её пересечения с α и β, а затем применяйте следствие.

Связь с другими темами

Для доказательства нужны определения параллельных и скрещивающихся прямых, свойства параллельных прямых и теорема о единственности параллельной прямой через точку. Признак полезен при изучении призм и параллелепипедов, сечений многогранников и расстояний между параллельными плоскостями. В параллельном проектировании он помогает переносить свойства плоских фигур на пространственные: например, распознавать параллельность направлений и сечений.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Чтобы доказать параллельность плоскостей, достаточно найти в них две пары соответственно параллельных пересекающихся прямых.
• Прямые, задающие признак, должны пересекаться в каждой из плоскостей.
• Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.
• Наличие одной пары параллельных прямых ещё не доказывает параллельность плоскостей.
• Обозначение параллельности плоскостей: α ∥ β.