9.4. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — плоскости, которые не пересекаются и имеют одинаковое направление. Например, основания прямоугольного параллелепипеда параллельны. Это понятие позволяет рассматривать их линии пересечения с третьей плоскостью и устанавливать связь между этими линиями.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Значит, одного пересечения недостаточно: нужно подтвердить прямой угол с линиями плоскости. Определение служит основанием для доказательства перпендикулярности в пространстве.

Общая перпендикулярная двух плоскостей — отрезок прямой, перпендикулярной обеим плоскостям и соединяющей их. Его концы лежат на разных плоскостях, а сам отрезок задаёт кратчайшее соединение между ними. Понятие помогает отличить нужный для измерения отрезок от наклонного.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина их общей перпендикулярной. Эта величина не зависит от того, в каком месте выбрана общая перпендикулярная. Поэтому расстояние можно находить по любому подходящему перпендикулярному отрезку.

Как это устроено

Пусть плоскости α и β параллельны, а прямая a перпендикулярна α. Рассмотрим точку P, в которой a пересекает β, и проведём через a и P вспомогательную плоскость γ. Она пересечёт α и β по прямым l и m. Такая конструкция сводит пространственную задачу к двум линиям в одной плоскости.

Прямые l и m параллельны, потому что обе лежат в плоскости γ и получены пересечением этой плоскости с параллельными плоскостями α и β. Если бы l и m пересекались, их общая точка принадлежала бы сразу α и β, а параллельные плоскости не имеют общих точек. Поэтому в сечении возникают именно параллельные линии.

Так как a перпендикулярна α, она перпендикулярна линии l, проходящей через точку пересечения a и α. Внутри γ прямые l и m параллельны, поэтому прямая a, перпендикулярная l, перпендикулярна и m. Это перенос свойства прямого угла на параллельную линию: при параллельном переносе направления угол между прямыми не меняется.

Одной линии m достаточно, чтобы увидеть перенос перпендикулярности в сечении, но для вывода о всей плоскости β нужно проверить линии через P. Возьмём любую такую линию b и проведём через неё плоскость, содержащую a. Её линия пересечения с α параллельна b; поскольку a перпендикулярна α, она перпендикулярна этой линии, а значит, и b. Следовательно, a перпендикулярна каждой линии β через P и по определению перпендикулярна β.

Получаем теорему: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. Если прямая пересекает обе плоскости, её часть между точками пересечения — общая перпендикулярная. По определению расстояния длина этого отрезка равна расстоянию между плоскостями, поэтому задачу о расстоянии можно свести к нахождению длины перпендикулярного отрезка.

Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям

Читайте таблицу как цепочку: условие о параллельности позволяет перейти к параллельным линиям сечения, а перпендикулярность одной плоскости — перенести на другую. В последней строке проверяйте оба условия: концы отрезка должны лежать на разных плоскостях, а сам он должен быть перпендикулярен им. Только тогда его длина задаёт расстояние.

Разбор задач

Задача 1

Плоскости α и β параллельны. Прямая a перпендикулярна плоскости α. Докажите, что a перпендикулярна плоскости β. Идея состоит в том, чтобы рассмотреть сечение через прямую a: в нём линии пересечения плоскостей будут параллельны. Тогда прямой угол с первой линией переносится на вторую.

1. Пусть P — точка пересечения a с β. Проведём через a плоскость γ, содержащую P; она пересечёт α и β по прямым l и m.
2. Так как α и β параллельны, l ∥ m. Из условия a ⟂ α следует, что a ⟂ l.
3. В плоскости γ прямая a перпендикулярна l, значит, она перпендикулярна параллельной прямой m. Для произвольной линии β через P строим такое же сечение и получаем перпендикулярность ей.

Ответ: a ⟂ β. Здесь использована теорема, доказанная через сечения: одной плоскости перпендикулярна прямая — значит, она перпендикулярна и параллельной ей плоскости. Если забыть проверить линии β через P, сечение только с одной линией покажет частный шаг доказательства, а не применение определения напрямую.

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что AA₁ перпендикулярно плоскостям ABCD и A₁B₁C₁D₁, а при AA₁ = 7 найдите расстояние между этими плоскостями. Нижнее и верхнее основания параллельны, а боковое ребро перпендикулярно основанию по свойству прямоугольного параллелепипеда. Остаётся применить теорему и определить нужный отрезок.

1. Плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ — параллельные основания параллелепипеда.
2. Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD. По теореме оно перпендикулярно и плоскости A₁B₁C₁D₁.
3. Отрезок AA₁ соединяет основания и перпендикулярен им, поэтому является общей перпендикулярной. Его длина равна расстоянию между основаниями.

Ответ: AA₁ ⟂ ABCD и AA₁ ⟂ A₁B₁C₁D₁; расстояние равно 7. Здесь важно не искать наклонный отрезок между вершинами оснований: расстояние измеряется именно по общей перпендикулярной. Значение 7 берётся непосредственно из длины ребра AA₁.

Задача 3

Даны плоскости α и β и прямая a, перпендикулярная обеим плоскостям. Докажите, что α и β параллельны, если они не совпадают. В этой задаче рассуждение обратное: общий перпендикуляр задаёт направление, одинаковое для обеих плоскостей. Поэтому непересекающиеся и различные плоскости должны быть параллельными.

1. Поскольку a перпендикулярна α, направление a является нормальным к α, то есть перпендикулярным её линиям через точку пересечения.
2. Та же прямая перпендикулярна β, следовательно, и у β такое же нормальное направление.
3. Плоскости с одинаковым нормальным направлением параллельны либо совпадают. По условию они не совпадают, поэтому остаётся случай параллельных плоскостей.

Ответ: α ∥ β. Условие о несовпадении необходимо, поскольку две плоскости, перпендикулярные одной прямой, могут быть одной и той же плоскостью. Если исключить совпадение, вывод о параллельности однозначен.

Типичные ошибки

• Считать достаточным, что прямая просто пересекает плоскость, чтобы объявить её перпендикулярной. Такую подмену допускают, потому что смешивают положение прямой с углом между ней и плоскостью. Проверьте себя: установлены ли прямые углы со всеми нужными линиями плоскости?

• Путать параллельность плоскостей с параллельностью любых выбранных в них прямых. Параллельны именно линии сечения этих плоскостей одной третьей плоскостью, а произвольные прямые могут иметь разные направления. Для проверки укажите общую секущую плоскость.

• Утверждать, что любая прямая, пересекающая две параллельные плоскости, перпендикулярна им. Ошибка возникает, когда свойство переносят с перпендикулярной прямой на любую секущую. Проверьте наличие исходного условия: прямая должна быть перпендикулярна хотя бы одной плоскости.

• Называть расстоянием любой отрезок, соединяющий точки двух плоскостей. Наклонный отрезок длиннее перпендикулярного, поэтому не задаёт кратчайшее расстояние. Перед ответом убедитесь, что соединяющий отрезок перпендикулярен обеим плоскостям.

Связь с другими темами

Для доказательства понадобятся определение перпендикулярности прямой и плоскости, признак перпендикулярности и свойства параллельных плоскостей. В сечении используется связь параллельных прямых с перпендикулярностью: перпендикуляр к одной из параллельных прямых перпендикулярен и другой. Результат помогает находить расстояния между плоскостями и решать задачи о прямоугольных параллелепипедах и призмах. Он также используется при изучении пространственных углов и взаимного расположения прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Если плоскости параллельны, то прямая, перпендикулярная одной из них, перпендикулярна и другой.
• Обоснование теоремы удобно проводить в сечении плоскостью, проходящей через данную прямую.
• Отрезок общей перпендикулярной к двум параллельным плоскостям равен расстоянию между ними.
• Все общие перпендикулярные к двум параллельным плоскостям имеют одинаковую длину.
• Нельзя заменять условие перпендикулярности простым пересечением плоскостей.
• Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны или совпадают.