10. Параллельные плоскости

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — плоскости, которые не имеют общих точек; обозначение: α ∥ β. Иначе говоря, они не пересекаются, как бы далеко ни продолжались. Это понятие помогает описывать взаимное расположение объектов в пространстве и задавать плоскости, между которыми можно измерить расстояние.

Признак параллельности плоскостей — условие, по которому можно установить параллельность двух плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой. Это удобный способ доказательства: вместо сравнения всех точек плоскостей достаточно проверить направление двух пар прямых. Условие пересечения прямых в каждой паре обязательно.

Секущая плоскость — плоскость, пересекающая каждую из двух рассматриваемых плоскостей. Её пересечения с ними обычно являются прямыми. Секущая позволяет сравнить расположение параллельных плоскостей и увидеть, как они взаимодействуют с другими фигурами.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую. Перпендикуляр — отрезок, образующий с плоскостью прямой угол. Такое определение нужно, чтобы измерять расстояние однозначно: длина наклонного отрезка не является расстоянием между плоскостями.

Как это устроено

Чтобы доказать параллельность плоскостей, удобно найти в первой две пересекающиеся прямые, а во второй — соответственно параллельные им прямые. Параллельные прямые имеют одинаковые направления, поэтому вторая плоскость повторяет направления двух прямых первой. Поскольку прямые в первой плоскости пересекаются, они задают её направление целиком, а не только одно направление. Если плоскости при этом пересекались бы, их общая прямая должна была бы согласоваться с обоими наборами направлений; это невозможно при выполнении условия признака. Значит, плоскости не имеют общих точек и параллельны.

В признаке нужны именно пересекающиеся прямые: две такие прямые однозначно задают плоскость. Если взять только одну прямую, вокруг неё можно провести множество плоскостей, и некоторые из них будут пересекаться. Если же две прямые параллельны, они также не определяют единственную плоскость: плоскость можно поворачивать вокруг их общего направления. Поэтому проверка двух пар параллельных прямых гарантирует параллельность плоскостей только тогда, когда прямые каждой пары лежат в одной плоскости и пересекаются.

Пусть третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по прямым a и b. Обе линии лежат в секущей плоскости, поэтому, если бы они не были параллельны, то пересеклись бы в некоторой точке. Эта точка принадлежала бы и первой, и второй исходным плоскостям, ведь каждая линия является их пересечением с секущей. Получилась бы общая точка параллельных плоскостей, что противоречит их определению; значит, a ∥ b.

Перпендикулярные отрезки между параллельными плоскостями равны, потому что направление перпендикуляра к одной плоскости одновременно перпендикулярно и параллельной ей плоскости. Если провести такие отрезки из разных точек, они вместе с отрезками, соединяющими их концы в плоскостях, образуют прямоугольник или его часть; параллельные стороны такого четырёхугольника равны. Поэтому длина перпендикуляра везде одна и та же. Так расстояние между плоскостями не зависит от выбора точки.

Если стороны угла пересечены двумя параллельными плоскостями, отрезки между сторонами угла на этих плоскостях параллельны. Для каждой плоскости можно рассмотреть треугольник с вершиной в вершине угла и основанием на линии пересечения. Получившиеся треугольники подобны: у них общий угол, а основания параллельны. Поэтому соответствующие расстояния от вершины на двух сторонах пропорциональны. Это позволяет находить неизвестный отрезок по известным длинам, даже если стороны угла имеют разную длину.

Признак и свойства параллельных плоскостей

Сначала определите, что известно в условии задачи: две пары параллельных прямых, секущая плоскость, перпендикуляры или угол. Затем выберите строку с подходящим условием и используйте её вывод. Для вычислений важно сопоставить именно соответствующие отрезки, а для расстояния — провести перпендикуляр.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b, а в плоскости β — прямые a₁ и b₁. Известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажем, что α ∥ β.

1. По условию прямые a и b лежат в α и пересекаются. Это как раз нужная пара пересекающихся прямых.
2. Прямые a₁ и b₁ лежат в β; первая параллельна a, а вторая — b. Значит, выполнены обе пары соответствующих параллельностей.
3. Применяем признак параллельности плоскостей. Условие не требует, чтобы a₁ и b₁ пересекались: достаточно, что прямые a и b пересекаются, а прямые-партнёры лежат в β.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2. Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым a и b. Докажем, что a ∥ b.

1. Прямые a и b лежат в плоскости γ, так как каждая из них получена при пересечении γ с одной из исходных плоскостей.
2. Предположим, что a и b пересекаются в точке P. Тогда P принадлежит и α, и β, поскольку лежит на линии пересечения γ с каждой плоскостью.
3. Это невозможно: α и β параллельны и общих точек не имеют. Следовательно, a и b не пересекаются; в одной плоскости такие прямые параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3. Стороны угла пересечены двумя параллельными плоскостями. На одной стороне расстояние от вершины до ближней плоскости равно 6 см, а между плоскостями — 4 см; на другой стороне расстояние до ближней плоскости равно 9 см. Найдём расстояние между плоскостями на второй стороне.

1. Обозначим искомое расстояние через x. На первой стороне расстояния от вершины до ближней и дальней плоскостей равны 6 см и 6 + 4 = 10 см.
2. На другой стороне расстояние до дальней плоскости равно 9 + x. Соответствующие расстояния пропорциональны: 6/9 = 10/(9 + x).
3. Перемножим крест-накрест: 6(9 + x) = 90, откуда 9 + x = 15 и x = 6.

Ответ: 6 см.

Типичные ошибки

Считать плоскости параллельными по одной паре параллельных прямых недостаточно: через параллельные прямые могут проходить разные плоскости, в том числе пересекающиеся. Ошибка возникает, когда свойство прямых переносят на плоскости без проверки дополнительных условий. Проверьте, что нашлись две пары прямых, а не одна, и что выполнено условие признака.

В признаке прямые первой плоскости должны пересекаться. Если они параллельны, то не задают нужным образом плоскость и вывод о параллельности плоскостей не обоснован. Это условие легко упустить, сосредоточившись только на параллельности соответствующих прямых. Перед применением признака отметьте точку пересечения двух прямых в одной плоскости.

Линии пересечения с третьей плоскостью нельзя заменять произвольными прямыми, лежащими в параллельных плоскостях. Свойство относится только к прямым, которые получены как пересечения обеих плоскостей с одной и той же секущей. Иначе вывод о параллельности может оказаться неверным. Проверьте, что каждая рассматриваемая линия действительно принадлежит секущей плоскости.

Наклонный отрезок между плоскостями длиннее перпендикулярного и не задаёт расстояние между ними. Его могут принять за кратчайшее расстояние, если не отметить угол с плоскостью. Для самопроверки убедитесь, что выбранный отрезок образует прямой угол с плоскостью. Если это не так, сначала найдите или проведите перпендикуляр.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения параллельных и пересекающихся прямых и признак параллельности прямых в пространстве. Они помогают проверять направления прямых и делать выводы о взаимном расположении фигур.

Также важно уметь задавать плоскость двумя пересекающимися прямыми и распознавать параллельность прямой и плоскости. Эти навыки позволяют правильно применять признак параллельности плоскостей и не смешивать его условия.

Новые свойства пригодятся при решении задач на сечения многогранников, расстояния в пространстве и взаимное расположение плоскостей. В таких задачах параллельность помогает находить линии сечений и вычислять неизвестные длины.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельные двум прямым другой, задают признак параллельности плоскостей.
• Параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостью, дают параллельные линии пересечения.
• Все перпендикулярные отрезки между двумя параллельными плоскостями равны.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряется по перпендикуляру.
• Параллельные плоскости отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.