11. Свойства параллельных плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек. Их обозначают α ∥ β. Это понятие позволяет описывать взаимное расположение двух плоскостей в пространстве и применять к ним свойства параллельности.

Линии пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью — прямые, по которым третья плоскость пересекает каждую из них. Например, если плоскость γ пересекает α и β по прямым a и b, то a и b — линии пересечения. Они нужны, чтобы исследовать пространственное расположение плоскостей средствами геометрии на плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, проведённого из точки одной плоскости к другой. Перпендикуляр встречает вторую плоскость под прямым углом, поэтому его длина задаёт кратчайшее расстояние. Эта величина не зависит от выбора точки, что позволяет измерять расстояние в любом удобном месте.

Как это устроено

Пусть третья плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β. Обе линии пересечения принадлежат γ, поэтому их можно рассматривать как прямые на одной плоскости. Если бы эти прямые пересеклись, общая точка лежала бы и в α, и в β. Это невозможно, потому что параллельные плоскости не имеют общих точек.

Итак, линии пересечения не пересекаются и лежат в одной плоскости. По свойству прямых на плоскости это означает, что они параллельны. Например, если a = α ∩ γ и b = β ∩ γ, то a ∥ b. Так пространственное условие о параллельных плоскостях даёт конкретный вывод о прямых.

Рассмотрим несколько параллельных прямых, пересекающих обе параллельные плоскости. Каждая из них отсекает отрезок между плоскостями, а концы этих отрезков соединяются линиями пересечения плоскостей с подходящей третьей плоскостью. Получается параллелограмм: его противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Поэтому отрезки между плоскостями равны как противоположные стороны параллелограмма.

Перпендикулярные отрезки, проведённые между параллельными плоскостями, также параллельны друг другу: они перпендикулярны одной и той же паре параллельных плоскостей. Если рассмотреть их вместе с линиями, соединяющими концы, получится параллелограмм, у которого противоположные стороны равны. Значит, длина перпендикулярного отрезка одинакова при любом выборе точки. Именно эту постоянную длину и принимают за расстояние между плоскостями.

Эти свойства помогают заменить пространственное рассуждение плоским. Чтобы доказать параллельность прямых, можно найти плоскость, в которой они обе лежат, и показать, что они являются линиями пересечения этой плоскости с двумя параллельными плоскостями. Тогда прямые параллельны по свойству сечений. Такой подход удобен, когда прямое сравнение пространственных объектов затруднено.

Свойства параллельных плоскостей

Сначала проверьте, выполнены ли условия нужного свойства: например, лежат ли прямые в одной плоскости и пересекают ли они обе параллельные плоскости. Затем выберите вывод, который требуется получить, — параллельность линий, равенство отрезков или значение расстояния. Не переносите свойство на произвольные отрезки, если в условии нет нужной параллельности.

Разбор задач

Задача 1

Плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b. Нужно сравнить прямые внутри одной плоскости, поэтому удобно рассматривать их именно в γ. Достаточно исключить возможность их пересечения.

1. Поскольку a и b получены сечением плоскости γ, обе прямые лежат в γ.
2. Предположим, что a и b пересекаются в точке X. Тогда X принадлежит α, так как лежит на a, и принадлежит β, так как лежит на b.
3. Получилось бы, что α и β имеют общую точку. Это противоречит условию α ∥ β.
4. Значит, a и b не пересекаются. В плоскости γ непересекающиеся прямые параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 2

Две параллельные плоскости пересечены параллельными прямыми a и b. Отрезок прямой a между плоскостями равен 7 см. Найдите длину соответствующего отрезка на b. Здесь не нужно искать угол или строить перпендикуляр: спрашивается длина отрезка на прямой, параллельной a. Используем свойство отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями.

1. Обозначим концы отрезка на a через A и A₁, а концы отрезка на b — через B и B₁.
2. Прямые a и b параллельны по условию, а плоскости параллельны. Поэтому отрезки AA₁ и BB₁ заключены между одной парой параллельных плоскостей на параллельных прямых.
3. Такие отрезки равны: AA₁ = BB₁. Подставляем известную длину AA₁ = 7 см.
4. Следовательно, BB₁ = 7 см.

Ответ: 7 см.

Задача 3

Плоскости α и β параллельны. Через точки A и B плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие β в точках A₁ и B₁. Докажите, что AA₁B₁B — параллелограмм, и сделайте вывод о равенстве AA₁ и BB₁. Чтобы установить вид четырёхугольника, проверим параллельность обеих пар противоположных сторон. Одна пара задана условием, а другая получается из свойства сечения параллельных плоскостей.

1. По условию AA₁ ∥ BB₁.
2. Проведём плоскость через параллельные прямые AA₁ и BB₁. Она пересечёт α по прямой AB, а β — по прямой A₁B₁.
3. Так как α ∥ β, линии их пересечения с этой третьей плоскостью параллельны. Значит, AB ∥ A₁B₁.
4. У четырёхугольника AA₁B₁B обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, это параллелограмм, а его противоположные стороны равны.

Ответ: AA₁B₁B — параллелограмм; AA₁ = BB₁.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что линии пересечения параллельных плоскостей с третьей совпадают. Они лежат в одной плоскости, но принадлежат разным плоскостям, а совпадение означало бы наличие общих точек у исходных плоскостей. Ошибку допускают, смешивая слово «сечение» с общим множеством точек. Проверьте, какой исходной плоскости принадлежит каждая линия.

Нельзя утверждать, что любые отрезки, соединяющие параллельные плоскости, равны. Свойство относится к отрезкам параллельных прямых, пересекающих обе плоскости. Часто условие о параллельности прямых упускают. Перед применением свойства проверьте направление прямых и концы отрезков.

Наклонный отрезок между плоскостями не является расстоянием между ними. Расстояние измеряют только перпендикуляром, поскольку наклонный путь длиннее кратчайшего. Ошибка возникает, когда выбирают самый заметный на чертеже отрезок. Проверьте, образует ли он прямой угол с плоскостями.

Не доказывайте параллельность плоскостей тем, что на рисунке они выглядят непересекающимися. Чертёж показывает пространственную конфигурацию лишь условно и может искажать углы и расстояния. Такое заключение нужно обосновать условием задачи или признаком параллельности. Для проверки укажите конкретное доказательство, а не вид рисунка.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными плоскостями нужны определения прямой и плоскости, а также свойства параллельных прямых. В частности, важно помнить: непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны. Эти знания позволяют переходить от сечения к выводу о параллельности линий.

Рассмотренные свойства пригодятся при доказательстве параллельности и равенства отрезков в пространственных задачах. Они также помогают находить расстояния между элементами и исследовать сечения многогранников. В таких задачах часто достаточно выделить подходящую третью плоскость и рассмотреть полученную плоскую фигуру.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Сечение двух параллельных плоскостей третьей плоскостью даёт параллельные прямые.
• Параллельные прямые отсекают на параллельных плоскостях равные отрезки.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряется перпендикуляром.
• Расстояние между параллельными плоскостями постоянно.
• Свойства параллельных плоскостей помогают свести пространственную задачу к плоской.