11. Свойства параллельных плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это две плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек. Их обозначают α ∥ β. Такая запись сразу сообщает, что плоскости расположены отдельно друг от друга, и позволяет применять свойства параллельных плоскостей.

Секущая плоскость — плоскость, которая пересекает каждую из рассматриваемых плоскостей. Например, плоскость γ пересекает α по прямой a, а β — по прямой b. Это обозначение помогает отличать сами плоскости от линий, которые возникают при их пересечении.

Отрезок между параллельными плоскостями — часть прямой, заключённая между этими плоскостями; его концы лежат в плоскостях. Если прямая пересекает α в A, а β в B, такой отрезок обозначают AB. Это понятие позволяет сравнивать расстояния, отсекаемые плоскостями на разных прямых.

Как это устроено

Пусть плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b. Если бы a и b пересекались, точка их пересечения лежала бы в γ, а также одновременно в α и β. Но у параллельных плоскостей нет общих точек, поэтому линии пересечения не могут пересекаться. Так как a и b лежат в одной плоскости γ и не пересекаются, они параллельны.

Секущая плоскость не может пересечь только одну из двух параллельных плоскостей. Если γ пересекла α, но не пересекла β, то γ была бы параллельна β. Тогда γ не могла бы пересекать и α: две плоскости, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой. Получается противоречие, поэтому γ пересекает β тоже.

Рассмотрим две параллельные плоскости и две параллельные прямые, пересекающие обе плоскости. Отрезки прямых между плоскостями равны. Чтобы понять причину, через эти прямые проводят вспомогательную плоскость. Она пересекает исходные параллельные плоскости по параллельным линиям, которые вместе с отрезками прямых образуют параллелограмм.

В полученном параллелограмме отрезки между плоскостями — противоположные стороны, а противоположные стороны параллелограмма равны. Поэтому отрезки на двух параллельных прямых имеют одинаковую длину. Здесь важны оба условия: параллельность плоскостей и параллельность прямых. Если прямые не параллельны, этот вывод сделать нельзя.

В задаче сначала отметь две параллельные плоскости, затем определи, что именно они пересекают: третью плоскость или параллельные прямые. Для линий пересечения явно укажи общую секущую плоскость. Для сравнения отрезков проведи или найди вспомогательную плоскость, содержащую прямые, и проверь, что отрезки заключены между одними и теми же параллельными плоскостями.

Свойства параллельных плоскостей

Пользуйся таблицей, сначала проверив условия нужного свойства. Для первого свойства найди одну секущую плоскость, для второго — параллельные прямые, пересекающие обе плоскости. Затем выбери указанное обоснование и запиши вывод.

Разбор задач

Задача 1. Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b.

1. По условию α ∥ β, а γ пересекает обе плоскости; значит, γ является общей секущей плоскостью.
2. Прямые a и b — линии пересечения γ с плоскостями α и β. Если бы они пересекались, их общая точка принадлежала бы α и β.
3. Поскольку у α и β нет общих точек, прямые a и b не пересекаются. Они лежат в γ, поэтому параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 2. Плоскости α и β параллельны и пересекают параллельные прямые a и b в точках A, B и C, D соответственно. Найдите CD, если AB = 7 см.

1. На каждой прямой рассматриваем отрезок между плоскостями: AB лежит на a, CD — на b.
2. Так как a ∥ b, а обе прямые пересекают одну и ту же пару параллельных плоскостей, отрезки между ними равны.
3. Следовательно, CD = AB. Подставляем известную длину: CD = 7 см.

Ответ: 7 см.

Задача 3. В параллелепипеде плоскость, параллельная основанию, пересекает боковые рёбра. Докажите, что отрезки этих рёбер между основаниями равны.

1. Основания параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра параллелепипеда также параллельны друг другу.
2. Каждое боковое ребро пересекает плоскости оснований, поэтому на нём выделен отрезок между основаниями.
3. Для любой пары боковых рёбер применяем свойство: параллельные прямые отсекают между двумя параллельными плоскостями равные отрезки. Значит, отрезки всех боковых рёбер между основаниями равны попарно.

Ответ: отрезки боковых рёбер между основаниями равны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что линии пересечения с третьей плоскостью существуют всегда. Причина — забывают, что для их появления плоскость должна пересечь исходные плоскости. Проверь, указано ли пересечение с обеими; если задано пересечение только с одной, используй свойство, что секущая пересекает и другую.

Ошибка: утверждать, что линии пересечения параллельны, не назвав секущую плоскость. Без неё не установлено, что обе прямые лежат в одной плоскости, а значит, вывод о параллельности не обоснован. Проверь, указал ли ты плоскость, по которой выполнены оба пересечения.

Ошибка: переносить равенство отрезков на непараллельные прямые. Обычно так делают, заметив только параллельность плоскостей и не проверив положение прямых. Перед применением свойства отдельно докажи или укажи, что прямые параллельны.

Ошибка: называть отрезком между плоскостями любую линию, соединяющую точки этих плоскостей. Такой отрезок может не лежать на прямой, параллельной другому сравниваемому отрезку. Проверь, что каждый отрезок образован пересечением прямой с обеими плоскостями и что несущие его прямые параллельны.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения параллельных прямых и плоскостей, а также признаки параллельности прямых в пространстве. Обоснование равенства отрезков опирается на знакомое свойство параллелограмма: его противоположные стороны равны. Эти идеи пригодятся при построении и изучении сечений многогранников. Позже они помогут разбирать задачи, связанные с объёмами тел.

Что запомнить

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии пересечения параллельны.
• Плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.
• Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.
• Для применения свойства равенства отрезков прямые должны быть параллельны.
• В задачах сначала обозначь плоскости и линии пересечения, затем выбери нужное свойство.