§ 4. Тетраэдр и параллелепипед

Определения и обозначения

Тетраэдр — многогранник, поверхность которого состоит из четырёх треугольников. Если его вершины обозначить A, B, C и D, то рёбрами будут AB, AC, AD, BC, BD и CD, а гранями — ABC, ABD, ACD и BCD. Это обозначение помогает описывать фигуру и не путать её элементы в задачах.

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм. В нём шесть граней: ABCD, A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁. Противоположными называют пары граней, которые не имеют общих вершин и лежат в параллельных плоскостях; их обозначения помогают быстро находить нужную пару.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Например, AC₁ — такая диагональ, а AC — диагональ грани ABCD. Различие важно, потому что эти отрезки соединяют разные вершины и обладают разными свойствами.

Диагональное сечение параллелепипеда — сечение плоскостью, проходящей через диагонали двух противоположных граней. Сечение показывает часть тела, полученную при пересечении его плоскостью. Его стороны и углы позволяют применять свойства плоских фигур для решения пространственных задач.

Как это устроено

Чтобы построить тетраэдр, выбирают четыре точки, не лежащие в одной плоскости, и соединяют их отрезками. Любые две из этих точек задают ребро, поэтому получается шесть рёбер; любые три задают треугольник, поэтому образуются четыре грани. Условие о том, что точки не лежат в одной плоскости, необходимо: иначе фигура будет плоской, а не объёмной.

Параллелепипед удобно представлять как призму. Сначала берут параллелограмм в основании, а затем переносят его в пространстве вдоль боковых рёбер; получившаяся грань равна основанию и параллельна ему. Соответствующие вершины соединяются параллельными и равными отрезками, а боковые грани становятся параллелограммами, потому что их противоположные стороны попарно параллельны.

Равенство и параллельность противоположных граней объясняются устройством призмы. Два основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях; боковые грани параллелепипеда также составляют пары равных параллелограммов. Поэтому у каждой грани есть противоположная ей грань той же формы и размера, а не просто любая грань без общих рёбер.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Причина в центральной симметрии: при повороте на 180° вокруг точки пересечения каждая вершина переходит в противоположную, а сам параллелепипед совмещается с собой. Значит, точка пересечения — середина каждой диагонали, хотя сами диагонали могут иметь разную длину.

Диагональное сечение получается, когда плоскость проходит через диагонали противоположных граней. Эти диагонали параллельны, поскольку лежат в параллельных гранях и имеют одинаковое направление; соединяющие их стороны тоже попарно параллельны. Поэтому сечение является параллелограммом, и его свойства помогают находить длины сторон, углы и другие величины.

Сравнение тетраэдра и параллелепипеда

Сравнивайте сначала число элементов и форму граней: так проще распознать многогранник и проверить обозначения. Строка о диагоналях напоминает, что у тетраэдра нет пары вершин, не принадлежащих одной грани, тогда как у параллелепипеда такие отрезки есть. Не делайте вывод о равенстве диагоналей только по тому, что они пересекаются.

Разбор задач

Задача 1. У тетраэдра обозначены вершины A, B, C, D. Перечислите все его рёбра и грани. Чтобы ничего не пропустить, отдельно составим список пар вершин и список троек. Именно пары определяют рёбра, а тройки — треугольные грани.

1. Выберем пары с вершиной A: AB, AC, AD. Затем добавим пары без A: BC, BD, CD.
2. Составим тройки вершин: ABC, ABD, ACD, BCD. Каждая тройка задаёт одну грань.

Ответ: рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD; грани ABC, ABD, ACD, BCD. Проверка: у тетраэдра должно быть шесть рёбер и четыре грани. Если число элементов другое, значит, какая-то пара или тройка пропущена либо записана повторно.

Задача 2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите грань, противоположную ABCD, и диагональ, выходящую из вершины A. Сначала выясним, какие вершины принадлежат основанию ABCD и какая грань лежит напротив него. Затем отделим пространственную диагональ от диагонали основания.

1. Грань, противоположная ABCD, — A₁B₁C₁D₁: она является вторым основанием призмы.
2. Из вершины A выходит пространственная диагональ AC₁. Отрезки AC и AB₁ диагоналями всего параллелепипеда не являются: каждый лежит в одной грани.

Ответ: противоположная грань — A₁B₁C₁D₁, диагональ параллелепипеда из A — AC₁. При проверке убедитесь, что второй конец диагонали не находится с A на одной грани. Это простое условие не даёт перепутать диагонали тела и его граней.

Задача 3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке O. Если AO = 5 см, найдите длину диагонали AC₁. Нужно установить, на какой диагонали лежат A и C₁, а затем применить свойство точки пересечения. По этому свойству O — середина отрезка AC₁.

1. Так как O — середина AC₁, отрезки AO и OC₁ равны.
2. Следовательно, AC₁ = AO + OC₁ = 5 + 5 = 10 см, или AC₁ = 2 · AO.

Ответ: 10 см. Деление пополам означает, что известна ровно половина диагонали, поэтому длину удваивают. Проверка: найденный отрезок должен быть вдвое длиннее AO.

Типичные ошибки

Диагональю параллелепипеда иногда называют отрезок между вершинами одной грани. Это происходит из-за того, что в обоих случаях соединяются несоседние вершины. Проверьте концы отрезка: если они принадлежат одной грани, перед вами диагональ грани, а не всего параллелепипеда.

Не любые две грани без общих рёбер являются противоположными: они могут быть боковыми гранями, расположенными под углом друг к другу. Противоположные грани параллелепипеда должны лежать в параллельных плоскостях. Для проверки мысленно продолжите эти плоскости: они не пересекутся, если грани действительно противоположные.

У тетраэдра шесть рёбер и четыре грани, но эти числа легко поменять местами при перечислении элементов. Путают их, когда считают не отдельные элементы, а способы выбрать вершины. Запомните: пары из четырёх вершин дают 6 рёбер, а тройки — 4 грани; после списка сверяйте числа с этими значениями.

Нельзя утверждать, что все диагонали любого параллелепипеда равны. Пересечение и деление пополам — свойства диагоналей, но из них равенство длин не следует. Проверяйте, какое именно свойство требуется: равенство половин одной диагонали верно, а равенство разных диагоналей — не всегда.

Связь с другими темами

Для изучения тетраэдра и параллелепипеда нужны понятия многогранника, призмы и параллелограмма. Свойства параллельных прямых и плоскостей объясняют, почему противоположные грани параллельны, а боковые грани являются параллелограммами. Эти знания помогают обосновывать свойства фигуры, а не только запоминать их.

Дальше свойства многогранников применяются при построении сечений и решении задач на расстояния и углы в пространстве. Диагональное сечение позволяет свести часть пространственной задачи к изучению параллелограмма. А свойство диагоналей помогает находить отрезки, если известна точка их пересечения или одна из половин.

Что запомнить

• У тетраэдра четыре вершины, шесть рёбер и четыре треугольные грани.
• Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Диагональ параллелепипеда соединяет вершины, не принадлежащие одной грани.
• Диагональное сечение параллелепипеда является параллелограммом.