§ 4. Тетраэдр и параллелепипед

Определения и обозначения

Тетраэдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями. Например, тетраэдр ABCD имеет вершины A, B, C, D, рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD и грани ABC, ABD, ACD, BCD. Перечисление помогает проверить, какие элементы входят в фигуру и не пропущены ли они при решении задачи.

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм. В обозначении ABCDA₁B₁C₁D₁ буквы называют вершины, отрезки между соседними вершинами — рёбра, а параллелограммы ABCD, A₁B₁C₁D₁ и четыре боковые поверхности — грани. Такое обозначение показывает, какие вершины соединены и какие грани можно сравнивать.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Например, AC₁ соединяет противоположные вершины и проходит внутри фигуры, а отрезок AC является диагональю грани ABCD. Различие нужно, чтобы не перепутать пространственный отрезок с отрезком на поверхности.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. У обычного параллелепипеда грани могут быть наклонными параллелограммами, поэтому прямоугольность нельзя предполагать без условия. Это определение позволяет понять, когда допустимо применять свойства прямоугольных граней.

Как это устроено

В тетраэдре есть четыре вершины: выбрав любые три из них, получаем одну треугольную грань. Таких троек ровно четыре, поэтому и граней четыре. Каждая пара вершин задаёт ребро, а число таких пар для четырёх вершин равно шести; при подсчёте каждое ребро входит в две грани.

У параллелепипеда два основания — равные параллелограммы в параллельных плоскостях. Соответствующие вершины оснований соединены боковыми рёбрами, а боковые грани также являются параллелограммами: их стороны попарно параллельны. Поэтому у фигуры шесть граней, а каждая грань имеет противоположную; равенство и параллельность противоположных граней следуют из свойств призмы и параллелограмма.

Чтобы найти пространственные диагонали, сначала отмечают пары вершин, которые не лежат на одной грани. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ это AC₁, CA₁, BD₁ и DB₁. Например, AC и A₁C₁ — диагонали оснований, а AB₁ — диагональ боковой грани: все эти отрезки лежат на гранях, поэтому не являются диагоналями всего параллелепипеда.

Свойство диагоналей можно увидеть в диагональном сечении — сечении плоскостью, проходящей через диагонали граней. Например, сечение ACC₁A₁ является параллелограммом, а его диагонали AC₁ и CA₁ пересекаются и делятся пополам. Аналогичные сечения показывают ту же середину для остальных диагоналей: у параллелепипеда есть общая точка, которая делит каждую из них пополам.

Свойства граней и диагоналей превращают пространственную задачу в знакомую плоскую. Если известны стороны прямоугольной грани, её диагональ можно найти по теореме Пифагора; если известен отрезок от вершины до середины пространственной диагонали, всю диагональ можно восстановить удвоением. Поэтому сначала полезно определить, лежит ли искомый отрезок на грани или проходит через тело фигуры.

Сравнение тетраэдра и параллелепипеда

Сравнивайте фигуры по строкам: так легче не смешать число граней с формой каждой грани. Для задачи о параллелепипеде отдельно проверьте, речь идёт о диагонали грани или всего тела. Равенство его пространственных диагоналей из таблицы заключать нельзя.

Разбор задач

Задача 1

На модели тетраэдра обозначены вершины A, B, C, D. Перечислите все его рёбра и грани. Чтобы ничего не пропустить, удобно составить сначала пары вершин, затем тройки: ребру соответствует пара, а треугольной грани — тройка.

1. Составим все пары из A, B, C, D: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Это шесть рёбер, каждое соединяет две вершины.
2. Выберем тройки вершин: ABC, ABD, ACD, BCD. Каждая тройка задаёт одну треугольную грань.
3. Проверим счёт: у тетраэдра должно быть 6 рёбер и 4 грани. Оба списка соответствуют этим числам.

Ответ: рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD; грани ABC, ABD, ACD, BCD.

Задача 2

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите грань, противоположную ABCD, и диагонали параллелепипеда. По стандартной записи нижнее основание — ABCD, а вершины верхнего основания соответствуют вершинам A, B, C, D. Нужно отдельно найти противоположную грань и пространственные диагонали, не включая диагонали оснований.

1. Грань напротив ABCD — параллельное ей верхнее основание A₁B₁C₁D₁. Между ними нет общего ребра.
2. Для диагонали тела выбираем пары вершин, не принадлежащих одной грани. Получаем AC₁ и CA₁, а также BD₁ и DB₁.
3. Проверим на примере: AC соединяет вершины одного основания, значит это диагональ грани, а не параллелепипеда.

Ответ: противоположная грань — A₁B₁C₁D₁; диагонали параллелепипеда — AC₁, CA₁, BD₁, DB₁.

Задача 3

Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке O. Если AO = 5 см, найдите длину диагонали AC₁. Отрезок AO — часть диагонали AC₁ от её конца A до точки пересечения. Значит, для решения достаточно использовать свойство деления диагоналей пополам.

1. Точка O лежит на диагонали AC₁ и делит её пополам, поэтому AO = OC₁.
2. Подставим известную длину: OC₁ = 5 см.
3. Сложим две половины диагонали: AC₁ = AO + OC₁ = 5 + 5 = 10 см.

Ответ: AC₁ = 10 см.

Типичные ошибки

Считают диагональ грани диагональю параллелепипеда. Это происходит, когда ориентируются только на то, что отрезок соединяет несоседние вершины. Проверьте, лежат ли его концы в одной грани: если да, это диагональ грани, а не всего тела.

Полагают, что у любого параллелепипеда все грани — прямоугольники. Такую форму часто представляют по рисунку коробки, хотя произвольные грани могут быть наклонными параллелограммами. Проверьте условие: прямоугольником называется только параллелепипед, у которого все грани прямоугольные.

Путают противоположные грани с соседними. На плоском чертеже грани могут выглядеть близкими, и из-за этого легко ошибиться. Противоположные грани не имеют общего ребра и параллельны; соседние, напротив, имеют общее ребро.

Утверждают, что диагонали параллелепипеда равны. Их середины совпадают, но это не означает равенства длин: у наклонного параллелепипеда диагонали могут различаться. Проверяйте, дан ли прямоугольный параллелепипед или иное условие, которое позволяет установить равенство.

Связь с другими темами

Для работы с параллелепипедом нужны свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, а диагонали пересекаются и делятся пополам. С этими знаниями проще доказывать свойства граней и разбирать диагональные сечения. Позже многогранники и их элементы встретятся в задачах на сечения, площади поверхностей, объёмы и расстояния в пространстве.

Что запомнить

• У тетраэдра четыре треугольные грани.
• У параллелепипеда шесть граней, и каждая из них — параллелограмм.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• Диагональ параллелепипеда соединяет вершины, не принадлежащие одной грани.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.
• Диагонали произвольного параллелепипеда не обязательно равны.