4.1. Тетраэдр

Определения и обозначения

Тетраэдр — многогранник, поверхность которого состоит из четырёх треугольников. Его можно рассматривать как треугольную пирамиду, у которой всего три боковые грани; у пирамид с большим числом боковых граней основание имеет больше сторон, поэтому граней тоже больше.

Грань тетраэдра — один из четырёх треугольников, образующих его поверхность. Грань обозначают буквами трёх её вершин: например, ABC — треугольник с вершинами A, B и C. Такая запись помогает понять, какие именно вершины и рёбра образуют выбранную часть многогранника.

Ребро тетраэдра — сторона грани, которая одновременно принадлежит двум граням. Его обозначают двумя буквами — названиями концов: например, AB означает отрезок между вершинами A и B. По этой записи удобно проверять, есть ли у двух рёбер общая вершина.

Правильный тетраэдр — тетраэдр, все грани которого являются равными правильными треугольниками. Правильный треугольник имеет три равные стороны, поэтому все рёбра такого тетраэдра равны. Это свойство позволяет находить стороны и периметры граней, зная длину одного ребра.

Как это устроено

Чтобы получить тетраэдр, сначала выбирают треугольник и принимают его за основание. Затем вне плоскости этого треугольника берут четвёртую точку — вершину пирамиды — и соединяют её с каждой вершиной основания. Так возникают три боковых треугольника, а вместе с основанием они составляют поверхность из четырёх треугольников. Четвёртая точка должна находиться вне плоскости основания, иначе объёмная фигура не получится.

Число вершин определяется построением: у основания их три, а над ним находится ещё одна вершина. Рёбра основания — это три стороны треугольника, а от его вершин к вершине пирамиды идут ещё три боковых ребра. Поэтому всего рёбер шесть. Такой подсчёт не пропускает стороны основания: они тоже являются рёбрами многогранника.

Для обозначения тетраэдра используют буквы его четырёх вершин, например ABCD. Чтобы перечислить грани, каждый раз выбирают три из четырёх букв: ABC, ABD, ACD и BCD. Ребро задаётся парой букв, поэтому получаем AB, AC, AD, BC, BD и CD. Этот способ перебора помогает проверить полный список: для грани пропущена одна вершина, а для ребра выбираются две.

У двух рёбер может быть общая вершина или не быть её. Например, AB и AC сходятся в точке A, поэтому они входят в одну грань ABC. А у AB и CD общей буквы нет: это противоположные рёбра. Они не могут лежать в одной грани, потому что любая треугольная грань использует три вершины, а ребро грани соединяет две из них.

В произвольном тетраэдре длины рёбер и форма треугольных граней могут различаться. У правильного тетраэдра все четыре грани равны и являются правильными треугольниками, поэтому длины всех рёбер совпадают. В каждой вершине сходятся три грани: каждая из них использует эту вершину и две другие. Это свойство следует из того, что к вершине прилегают три ребра, соединяющие её с остальными вершинами.

Элементы и основные признаки тетраэдра

Таблица помогает быстро сверить названия и примеры элементов тетраэдра ABCD. Для подсчёта или обозначения сначала выберите нужный тип элемента: вершину, ребро или грань. Чтобы определить противоположные рёбра, сравните их обозначения и убедитесь, что у них нет общей буквы.

Разбор задач

1. Дан тетраэдр ABCD. Назовите все его вершины, рёбра и грани.

Начнём с вершин: их названия уже указаны в обозначении тетраэдра. Для списка рёбер составим все пары букв, а для списка граней — все наборы из трёх букв. Так мы проверим, что каждый элемент учтён ровно один раз.

1. Вершины: A, B, C, D.
2. Составляем пары из этих букв: AB, AC, AD, BC, BD, CD — это шесть рёбер.
3. Выбираем тройки: ABC, ABD, ACD, BCD — это четыре грани.

Ответ: вершины A, B, C, D; рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD; грани ABC, ABD, ACD, BCD. При переборе полезно держать буквы в одном порядке: так легче заметить пропущенную пару или тройку.

2. В тетраэдре ABCD укажите пары противоположных рёбер и пары рёбер, имеющих общую вершину.

Ребро записывается двумя буквами, и каждая из них обозначает его конец. Поэтому сначала сравним обозначения: совпадающая буква означает общую вершину, а отсутствие совпадений — противоположные рёбра. Проверим пары по этому правилу и сгруппируем их.

1. AB и CD не имеют общей буквы, значит, это противоположные рёбра.
2. Таким же способом получаем AC и BD, а также AD и BC.
3. AB и AC имеют общую букву A; пример других рёбер с общей вершиной — AB и BC (вершина B).

Ответ: противоположные пары — AB и CD, AC и BD, AD и BC. Пары AB и AC, AB и BC имеют общие вершины. Всего пар противоположных рёбер три, потому что каждому ребру соответствует одно ребро, не имеющее с ним общей вершины.

3. Тетраэдр ABCD — правильный, длина ребра равна 5 см. Определите количество граней и периметр каждой грани.

Правильность здесь важна не только для количества граней: каждая грань — равносторонний треугольник. Значит, все три стороны выбранной грани имеют длину 5 см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, и одинаковое рассуждение подходит к любой из четырёх граней.

1. У тетраэдра четыре грани.
2. Периметр одной грани: 5 + 5 + 5 = 15 см.
3. Так как все грани равны, периметр каждой из них одинаков.

Ответ: 4 грани, периметр каждой — 15 см. Нельзя умножать длину ребра на число рёбер всего тетраэдра: периметр относится к одной грани, а у неё три стороны.

Типичные ошибки

Иногда основание и боковые грани представляют фигурами разных типов. Основание может казаться особенным, потому что так его называют при описании пирамиды, но у тетраэдра оно тоже треугольное. Проверьте список: все четыре грани должны быть треугольниками.

Можно насчитать только три ребра, посчитав боковые отрезки от вершины пирамиды к основанию. Ошибка возникает, если забыть стороны самого основания. Чтобы проверить подсчёт, перечислите отдельно три стороны основания и три боковых ребра: вместе получится шесть.

Рёбра AB и AC иногда называют противоположными, потому что они изображены на разных участках рисунка. Но рисунок не заменяет проверку обозначений: у этих рёбер общая вершина A. Противоположные рёбра не имеют общих концов, поэтому их буквы не должны совпадать.

Не каждый тетраэдр правильный: наличие четырёх треугольных граней само по себе этого не гарантирует. Такую ошибку помогает выявить определение: у правильного тетраэдра грани должны быть равными правильными треугольниками. Если это условие не задано и не доказано, считать все рёбра равными нельзя.

Связь с другими темами

Для изучения тетраэдра нужны знакомые понятия многогранника, грани, ребра и вершины, а также представление о треугольной пирамиде. Они помогают описывать пространственную фигуру и аккуратно перечислять её части. Позже свойства тетраэдра пригодятся при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, построении сечений многогранников и решении задач на площадь поверхности и объём. В таких задачах сначала важно верно определить нужные грани и рёбра.

Что запомнить

• Тетраэдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями.
• У тетраэдра четыре вершины, шесть рёбер и четыре грани.
• Тетраэдр ABCD имеет грани ABC, ABD, ACD и BCD.
• У каждого ребра тетраэдра есть две вершины и две смежные грани.
• Противоположные рёбра тетраэдра не имеют общей вершины.
• У правильного тетраэдра все рёбра равны, а все грани — равные правильные треугольники.