4.2. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм. Его поверхность состоит из шести граней, а рёбра — это отрезки, по которым грани пересекаются. Такое определение помогает увидеть, что параллелепипед относится к призмам и наследует их свойства.

Основания параллелепипеда — две равные параллельные грани, выбранные в качестве оснований призмы. Остальные четыре грани называют боковыми. Основания не обязательно должны выглядеть на рисунке как нижняя и верхняя грани: их выбор зависит от того, в каком направлении рассматривают призму.

Боковая грань — грань, не являющаяся основанием. В параллелепипеде она представляет собой параллелограмм: одна пара её противоположных сторон образована параллельными равными боковыми рёбрами призмы, а другая — параллельными сторонами оснований. Это определение позволяет отличать боковые грани от оснований, не полагаясь на их положение на рисунке.

Диагональ параллелепипеда, или пространственная диагональ, — отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Она проходит через внутреннюю часть фигуры, тогда как диагональ грани целиком лежит на поверхности. Различие нужно, чтобы не смешивать отрезки разных типов при перечислении диагоналей.

Как это устроено

Параллелепипед получают из призмы с параллелограммом в основании. Боковые рёбра призмы параллельны друг другу и равны, а противоположные стороны основания тоже параллельны и равны. Поэтому каждая боковая грань имеет две пары параллельных сторон и становится параллелограммом. Основания уже являются параллелограммами по условию определения.

У параллелепипеда шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях: основания параллельны по определению призмы, а боковые грани оказываются попарно параллельными благодаря параллельности соответствующих рёбер. Такие грани равны, поскольку у них равны соответствующие стороны и одинаковы углы между ними. Поэтому можно сопоставить все грани в три пары противоположных.

Пространственных диагоналей четыре. Если обозначить основания ABCD и A₁B₁C₁D₁ так, что соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами, то диагонали соединяют пары A и C₁, B и D₁, C и A₁, D и B₁. У каждой такой пары вершин нет общей грани. Например, отрезок AC — диагональ основания ABCD, а не пространственная диагональ: обе его вершины лежат на одной грани.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Чтобы обосновать это, можно рассмотреть параллелограмм, образованный диагоналями двух противоположных граней, и применить свойство его диагоналей: они делятся точкой пересечения пополам. Та же точка оказывается серединой каждой пространственной диагонали, поскольку диагонали противоположных параллелограммов соответствуют друг другу. Деление пополам не означает, что сами диагонали обязательно равны.

Если плоскость пересекает параллелепипед и параллельна одной из его граней, сечение будет параллелограммом, равным этой грани. Параллельные плоскости задают одинаковое направление сторон сечения и грани, а отрезки между боковыми рёбрами имеют равные длины. Поэтому сечение сохраняет и форму, и размер исходной грани, а не только её форму.

Основные элементы и свойства параллелепипеда

Сначала определите, о каком элементе спрашивают: о грани, ребре или диагонали. Затем проверьте его положение и используйте соответствующее свойство. Таблица помогает быстро отличить то, что верно для каждого параллелепипеда, от того, что требует дополнительных условий.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ назовите основания, боковые грани и все грани, противоположные грани ABCD. Нужно сопоставить вершины двух оснований и проследить, какие грани имеют общие рёбра.

1. Основания — ABCD и A₁B₁C₁D₁: они параллельны и равны.
2. Четыре боковые грани образованы соответствующими сторонами оснований и боковыми рёбрами: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁.
3. Грани, противоположные ABCD, — A₁B₁C₁D₁. Других граней без общего ребра с ABCD нет.

Ответ: основания — ABCD и A₁B₁C₁D₁; боковые грани перечислены выше; противоположная грани ABCD грань — A₁B₁C₁D₁.

Задача 2. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда равны. Рассмотрим, например, грани ABCD и A₁B₁C₁D₁. Доказательство строится на сопоставлении сторон этих параллелограммов.

1. В параллелепипеде соответствующие рёбра оснований параллельны и равны: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и так далее.
2. Противоположные стороны каждой грани параллелограммы параллельны. Поэтому углы между соответствующими сторонами оснований равны.
3. У параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ равны соответствующие стороны и углы между ними. По признаку равенства параллелограммов эти грани равны.

Ответ: противоположные грани равны; аналогичное рассуждение подходит для каждой пары.

Задача 3. В условии сказано, что пространственная диагональ пересекает плоскость основания в точке O. Докажите, что O — середина диагонали основания, и найдите положение O относительно остальных пространственных диагоналей. Здесь есть неточность: пространственная диагональ имеет одну вершину в плоскости основания, а другую — вне неё.

1. Для диагонали AC₁ точка пересечения с плоскостью ABCD — A, потому что A уже лежит в этой плоскости, а C₁ — нет.
2. Следовательно, утверждение, что такая точка O является серединой диагонали основания, неверно в буквальном прочтении. Например, точка A — конец диагонали AC основания, а не её середина.
3. Если же O — точка пересечения пространственных диагоналей, то она является серединой каждой из них. В частности, O — середина диагонали AC₁ и одновременно середина других трёх пространственных диагоналей.

Ответ: буквальное условие не позволяет доказать требуемое: пересечение с плоскостью основания находится в вершине. Для утверждения о середине нужно иметь в виду общую точку пересечения пространственных диагоналей; она лежит внутри фигуры и делит каждую диагональ пополам.

Типичные ошибки

Диагональю параллелепипеда называют диагональ грани. Это происходит потому, что оба отрезка соединяют вершины, а на плоском рисунке их легко перепутать. Проверьте, лежат ли оба конца на одной грани: если да, перед вами диагональ грани, а не пространственная диагональ.

Считают любую пару граней противоположной. Но грани, имеющие общее ребро, соседние; противоположные не имеют общего ребра и лежат в параллельных плоскостях. Чтобы проверить себя, отметьте общие вершины или рёбра двух граней, а затем установите, параллельны ли их плоскости.

Основания принимают за нижнюю и верхнюю грани на рисунке. Так происходит из-за привычного изображения фигуры, хотя основанием может быть любая выбранная пара равных параллельных граней. Проверка простая: найдите, какие грани выбраны основаниями в условии, и не определяйте их только по положению на странице.

Утверждают, что все пространственные диагонали равны. Ошибка возникает из-за смешения двух свойств: диагонали пересекаются и делятся пополам, но их длины это не определяет. Проверьте, задан ли прямоугольный параллелепипед или другое дополнительное условие; для произвольного параллелепипеда равенство диагоналей не гарантировано.

Связь с другими темами

Для изучения параллелепипеда нужно знать определение призмы и свойства параллелограмма. В частности, важно помнить, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, а его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Эти факты объясняют устройство граней и свойства пространственных диагоналей.

Параллелепипед служит основой для изучения прямоугольного параллелепипеда и вычисления объёмов. Его свойства также пригодятся в задачах на сечения, где нужно определять форму фигуры, полученной пересечением тела плоскостью. Умение различать грани и диагонали помогает строить такие рассуждения без опоры на рисунок.

Что запомнить

• Параллелепипед — призма с параллелограммом в основании.
• Все его грани являются параллелограммами.
• Противоположные грани параллельны и равны.
• Пространственная диагональ соединяет вершины, не лежащие на одной грани.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения делит каждую пространственную диагональ пополам.