121. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм. Призма имеет два равных основания, лежащих в параллельных плоскостях, и боковые грани, соединяющие их стороны. Поэтому у параллелепипеда два основания-параллелограмма, а его боковые грани также оказываются параллелограммами. Это определение помогает увидеть, что параллелепипед — не отдельная случайная фигура, а особый вид призмы.

Грань параллелепипеда — один из многоугольников, ограничивающих его поверхность. Две грани называют основаниями, остальные четыре — боковыми. Такое деление удобно, когда нужно описать положение граней или назвать противоположные пары.

Ребро параллелепипеда — сторона одной из его граней. Каждое ребро одновременно принадлежит двум граням, поэтому оно служит общей стороной этих граней. По рёбрам можно понять, какие грани соседствуют.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Она проходит внутри тела, в отличие от диагонали грани, которая лежит на поверхности. Это различие нужно, чтобы правильно считать диагонали и рассуждать о точке их пересечения.

Как это устроено

Возьмём призму с параллелограммом ABCD в основании и соответствующим основанием A₁B₁C₁D₁. В призме боковые рёбра параллельны и равны, поэтому AA₁ и BB₁ параллельны, а AB и A₁B₁ тоже параллельны как соответствующие стороны оснований. Четырёхугольник ABB₁A₁ имеет две пары параллельных противоположных сторон и потому является параллелограммом. Так же устроены три остальные боковые грани.

У фигуры шесть граней: два основания и четыре боковые. Основания не имеют общих вершин, а боковые грани, расположенные по разные стороны призмы, тоже образуют пары без общих вершин. В итоге получается три пары противоположных граней: два основания и две пары боковых. Грани одной пары не соседствуют, тогда как у соседних граней есть общее ребро.

Противоположные основания параллельны и равны по свойствам призмы. Каждая пара противоположных боковых граней также параллельна: их соответствующие стороны направлены параллельно, потому что стороны основания параллельны, а все боковые рёбра призмы параллельны. Такие боковые грани равны: у них равны соответствующие стороны, а углы между этими сторонами равны. Следовательно, каждая пара противоположных граней параллелепипеда параллельна и равна.

В каждом основании по четыре ребра, значит, вдоль двух оснований проходит 4 + 4 = 8 рёбер. Ещё четыре боковых ребра соединяют соответствующие вершины оснований, всего получается 12. Вершин тоже по четыре в каждом основании, поэтому их 4 + 4 = 8. Подсчёт показывает, как устройство призмы задаёт число элементов, а не просто запоминается как готовый факт.

У параллелепипеда четыре диагонали, соединяющие пары вершин, не лежащих на одной грани. Чтобы понять, почему они пересекаются и делятся пополам, рассмотрим их середины. В основании ABCD диагонали AC и BD пересекаются и делятся пополам, поскольку ABCD — параллелограмм. Такое же свойство есть у верхнего основания A₁B₁C₁D₁; кроме того, боковые грани-параллелограммы связывают соответствующие вершины двух оснований. Поэтому середины всех четырёх диагоналей тела совпадают: диагонали пересекаются в одной точке, и эта точка является серединой каждой из них.

Устройство и свойства параллелепипеда

Таблица помогает быстро проверить, правильно ли названы элементы параллелепипеда. Если на чертеже нужно найти противоположные грани, сначала отдели основания от боковых граней, а затем ищи грани без общих вершин. Для диагонали тела проверяй, что её концы не лежат на одной грани.

Разбор задач

Задача 1. Пары противоположных граней

На рисунке изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите пары его противоположных граней. Чтобы не перепутать их с соседними, будем искать грани, которые не имеют общих вершин. Запись названия грани перечисляет её вершины по порядку обхода.

1. Основания — ABCD и A₁B₁C₁D₁. Они расположены в разных параллельных плоскостях и не имеют общих вершин.
2. Среди боковых граней противоположны ABB₁A₁ и DCC₁D₁: первая содержит вершины A, B, A₁, B₁, а вторая — D, C, D₁, C₁. Ещё одна пара — BCC₁B₁ и ADD₁A₁.
3. Проверим, что перечисленные боковые грани не соседствуют: у каждой пары нет общей вершины. Например, ABB₁A₁ и BCC₁B₁ имеют общее ребро BB₁, поэтому они соседние, а не противоположные.

Ответ: ABCD и A₁B₁C₁D₁; ABB₁A₁ и DCC₁D₁; BCC₁B₁ и ADD₁A₁.

Задача 2. Отрезок диагонали

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали пересекаются в точке O. Известно, что AO = 5 см. Найдите OC₁. В условии AO и OC₁ — части одной диагонали AC₁, а O — точка, в которой диагонали пересекаются.

1. Вспомним свойство: точка пересечения диагоналей параллелепипеда делит каждую диагональ пополам.
2. Значит, O — середина AC₁, поэтому отрезки AO и OC₁ равны.
3. Подставим известную длину: если AO = 5 см, то и OC₁ = 5 см.

Ответ: OC₁ = 5 см.

Задача 3. Равенство боковых граней

Докажите, что противоположные боковые грани параллелепипеда равны. Рассмотрим грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁. Обе являются параллелограммами, но одного этого названия недостаточно: у разных параллелограммов могут быть разные размеры, поэтому нужно сопоставить стороны и углы.

1. В основании ABCD стороны AB и DC равны, потому что противоположные стороны параллелограмма равны.
2. Боковые рёбра призмы равны, поэтому AA₁ = CC₁. Угол между AB и AA₁ равен углу между DC и CC₁: стороны AB и DC параллельны, а AA₁ и CC₁ также параллельны.
3. Значит, у параллелограммов ABB₁A₁ и DCC₁D₁ равны две соответствующие стороны и угол между ними. Следовательно, эти параллелограммы равны. Для второй пары противоположных боковых граней рассуждение будет таким же.

Ответ: противоположные боковые грани равны, что следует из равенства их соответствующих сторон и углов.

Типичные ошибки

Называть диагональю параллелепипеда отрезок между вершинами одной грани — ошибка: это диагональ грани, а не всего тела. Её допускают, потому что обе линии соединяют несоседние вершины. Проверь себя: диагональ тела должна иметь концы, не лежащие на одной грани, и проходить внутри параллелепипеда.

Считать все грани прямоугольниками неверно: определение гарантирует, что они параллелограммы, но не то, что все углы прямые. Иногда прямоугольник принимают за единственный знакомый вид параллелограмма. Проверь чертёж: если прямой угол отдельно не задан, нельзя заключать, что грань прямоугольная.

Противоположные грани не имеют общих вершин, а не просто кажутся удалёнными на рисунке. Путают их с соседними, если ориентируются только на расположение граней на плоском чертеже. Проследи вершины: общая вершина или общее ребро означает, что грани соседние.

Из того, что диагонали пересекаются и делятся пополам, не следует, что все они равны. Это свойство означает равенство двух частей одной и той же диагонали, но не частей разных диагоналей. Для проверки запиши отдельно, какие именно отрезки сравниваются; без дополнительных условий их длины могут различаться.

Связь с другими темами

Перед изучением параллелепипеда полезно вспомнить определение призмы: она имеет два равных параллельных основания и боковые грани. Также нужны свойства параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. Эти знания объясняют, почему грани параллелепипеда имеют такую форму и как устроены его диагонали. Позже они пригодятся при изучении прямоугольного параллелепипеда, площадей поверхностей и объёмов.

Что запомнить

• Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом.
• У параллелепипеда 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер.
• Все грани параллелепипеда — параллелограммы.
• Противоположные грани параллельны и равны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.