122. Объем тела

Определения и обозначения

Объём тела — величина, показывающая, сколько места тело занимает в пространстве. Объёмы можно сравнивать: одно тело может занимать больше места, чем другое, или столько же. Измерение объёма позволяет выразить это сравнение числом и единицей измерения. Например, можно узнать, сколько места занимает коробка или какая из двух ёмкостей больше.

Единица объёма — это объём куба с ребром, равным выбранной единице длины. Если единицей длины служит сантиметр, берут куб с ребром 1 см; если метр — куб с ребром 1 м. Размер единицы необходимо указывать, потому что кубы с разными рёбрами занимают разный объём. Поэтому одного числа без единицы недостаточно для точной записи результата.

Кубическая единица — единица объёма, соответствующая объёму куба с ребром в одну единицу длины. Объём куба с ребром 1 см равен одному кубическому сантиметру, который записывают как 1 см³. Цифра 3 показывает, что единица длины относится к трём измерениям куба. По такому же правилу используют кубический метр — м³.

Равновеликие тела — тела, объёмы которых равны. При этом их форма может быть разной: совпадать должен объём, а не внешний вид. Это понятие помогает сравнивать тела по занимаемому месту, не требуя, чтобы одно тело можно было совместить с другим. Например, вытянутое и компактное тело могут быть равновеликими.

Как это устроено

Объём, как и длину или площадь, измеряют сравнением с выбранной единицей. Для этого удобно представить единичный куб: он занимает ровно одну единицу объёма. Если тело можно заполнить такими кубами без промежутков и наложений, достаточно подсчитать их количество. Такой способ объясняет, откуда берётся число в записи объёма, а не только обозначение единицы.

Если тело составлено из частей, объём целого равен сумме объёмов частей при условии, что они не перекрываются. Причина проста: каждая часть занимает свою область пространства, и вместе они заполняют тело. Когда области не накладываются, ни один участок не учитывается дважды. Поэтому при разбиении сложного тела на простые части можно найти их объёмы отдельно, а затем сложить.

Равные тела имеют равные объёмы, потому что одинаковые тела занимают одинаковое пространство. Однако обратное утверждение неверно: из равенства объёмов не следует, что тела одинаковы. Одно тело можно представить длинным и узким, а другое — коротким и широким, сохранив общий занимаемый объём. Значит, объём описывает размер тела в пространстве, но не задаёт его форму.

Объём можно определить подсчётом единичных кубов, а для тел, объём которых выражается известной формулой, — вычислением. В обоих случаях результат нужно записать вместе с кубической единицей, иначе непонятно, к какому размеру относится число. Формулы особенно удобны, когда тело велико и пересчитать маленькие кубы трудно. Подсчёт кубов помогает понять смысл измерения, а вычисление позволяет быстрее получить результат.

При переводе единиц объёма нельзя менять только одно измерение: у куба есть длина, ширина и высота. Если ребро стало в 10 раз длиннее, то в каждом из трёх направлений помещается в 10 раз больше единичных отрезков. Поэтому объём единичного куба увеличивается в 10 × 10 × 10 = 1000 раз. Например, 1 м = 100 см, значит, 1 м³ = 100³ см³ = 1 000 000 см³.

Основные свойства и способы определения объёма

Сначала найдите в таблице подходящее свойство, затем проверьте, выполнены ли его условия. Особое внимание уделяйте единице измерения и тому, перекрываются ли части тела. Это поможет выбрать правильное действие и записать ответ без ошибки.

Разбор задач

Задача 1. Тело составлено из 18 одинаковых кубиков с ребром 1 см. Найдите его объём. Каждый маленький куб имеет объём 1 см³, потому что его ребро равно 1 см. Чтобы найти объём целого тела, нужно сложить объёмы всех кубиков.

1. Определим объём одного кубика: куб с ребром 1 см занимает 1 см³. Это и есть единичная кубическая единица для данной задачи.
2. Подсчитаем все одинаковые кубики: их 18, значит, суммируем 18 объёмов по 1 см³. Получаем 18 × 1 см³ = 18 см³.
3. Проверим запись: число показывает количество кубиков, а единица должна быть кубической. Ответ: 18 см³.

Задача 2. Тело разделили на две неперекрывающиеся части объёмами 24 см³ и 17 см³. Найдите объём целого тела. Части не перекрываются, поэтому их объёмы можно сложить. Важно, что каждую область пространства мы учитываем ровно один раз.

1. Выберем действие: для целого тела складываем объёмы составляющих его частей. Обе величины уже выражены в см³, поэтому переводить единицы не требуется.
2. Вычислим сумму: 24 см³ + 17 см³ = 41 см³. Складываем числовые значения и сохраняем общую единицу измерения.
3. Ответ запишем с кубической единицей. Ответ: 41 см³.

Задача 3. Из прямоугольного блока объёмом 120 см³ вырезали часть объёмом 35 см³. Найдите объём оставшегося тела. Исходный блок состоит из оставшейся части и вырезанного фрагмента. Поэтому объём оставшейся части равен объёму целого блока без объёма удалённого фрагмента.

1. Обозначим неизвестный объём оставшейся части. По свойству сложения объёмов он вместе с объёмом вырезанного куска должен дать 120 см³.
2. Чтобы найти неизвестную часть, вычтем известный объём фрагмента из объёма исходного блока: 120 см³ − 35 см³ = 85 см³.
3. Проверим результат сложением: 85 см³ + 35 см³ = 120 см³, значит, вычисление согласуется с условием. Ответ: 85 см³.

Типичные ошибки

Объём иногда записывают в квадратных единицах, например см². Так происходит, когда путают измерение тела с измерением плоской фигуры. Объём относится к трём измерениям, поэтому единица должна быть кубической: см³, м³ и так далее. Проверьте себя: если в задаче спрашивают, сколько места занимает тело, ответьте кубической единицей.

Можно ошибочно решить, что равновеликие тела обязаны иметь одинаковую форму. Это заблуждение возникает из-за того, что равный объём принимают за полное совпадение тел. На самом деле тела могут выглядеть по-разному и всё же занимать равное пространство. Проверка проста: сравнивают объёмы, а не внешний вид или возможность совместить тела.

Ещё одна ошибка — складывать объёмы частей, которые перекрываются. Тогда общий участок попадёт в сумму дважды, хотя в целом теле он существует только один раз. Складывать объёмы можно, если части не имеют общих внутренних точек. Перед вычислением представьте разбиение и убедитесь, что каждая область целого тела учтена ровно один раз.

При переводе единиц объёма иногда меняют число в 10 или 100 раз, как будто измеряется только длина. Но куб имеет три измерения, и масштаб меняется по каждому из них. Поэтому коэффициент перевода длины нужно возвести в третью степень: переход от метров к сантиметрам даёт множитель 100³. Проверить себя можно на кубе: посчитайте, сколько маленьких кубов помещается вдоль каждого его ребра.

Связь с другими темами

Для изучения объёма полезно уметь измерять длины и площади, а также переводить единицы измерения. Эти знания помогают понять, почему объём выражают кубическими единицами и как меняется его числовое значение при переводе. Позже понятие объёма понадобится при изучении формул для многогранников и тел вращения. А сложение объёмов связано с разбиением сложных геометрических тел на более простые части.

Что запомнить

• Объём характеризует пространство, занимаемое телом.
• Единица объёма — объём единичного куба.
• Объём записывают в кубических единицах.
• Равные тела имеют равные объёмы.
• Объём тела равен сумме объёмов его неперекрывающихся частей.
• Равные объёмы не требуют одинаковой формы тел.