22.2. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм. Значит, два основания — равные параллелограммы, расположенные в параллельных плоскостях, а соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Такое определение сразу задаёт вид фигуры: у неё нет треугольных граней, а боковые грани тоже являются параллелограммами.

У параллелепипеда две грани-основания и четыре боковые грани — всего шесть. Основания лежат в параллельных плоскостях, а боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований. У фигуры 12 рёбер и 8 вершин; это позволяет не путать её с призмой другого вида и правильно называть элементы.

Диагональ параллелепипеда — отрезок между двумя вершинами, которые не принадлежат одной грани. Она проходит внутри фигуры, тогда как диагональ грани соединяет вершины одной грани и лежит на её поверхности. Это различие нужно, чтобы верно понимать, какой именно отрезок требуется найти в задаче.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. В отличие от общего случая, его углы прямые, и поэтому длину пространственной диагонали можно выразить через три измерения простой формулой. Буквами a, b и c обычно обозначают длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Как это устроено

Представь параллелограмм и перенеси его в направлении, не лежащем в его плоскости. Каждая вершина перемещается на один и тот же вектор, а отрезки между соответствующими вершинами становятся параллельными и равными. Поэтому боковые грани образуются парами параллельных отрезков и сами оказываются параллелограммами. Такой способ построения объясняет, почему в определении параллелепипеда основания связаны именно параллелограммом.

Шесть граней складываются в три пары противоположных: две пары боковых граней и пару оснований. Перенос сохраняет форму и размеры, поэтому основания равны, а соответствующие боковые грани тоже равны; плоскости каждой пары параллельны. Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. При переносе они имеют одинаковое направление и длину, откуда следуют их параллельность и равенство.

Чтобы понять, почему диагонали делятся пополам, проведи их мысленно через середину тела. В гранях, являющихся параллелограммами, диагонали пересекаются и делятся пополам. Кроме того, диагонали параллелепипеда можно рассматривать как отрезки между противоположными вершинами, полученными переносом основания; свойства параллелограммов на его гранях согласуют середины этих отрезков. Поэтому все пространственные диагонали проходят через одну точку — центр параллелепипеда — и делятся в ней пополам.

Возьмём плоскость, проходящую через диагональ основания и боковые рёбра, выходящие из её концов. Например, в параллелепипеде ABCD–A₁B₁C₁D₁ это может быть плоскость через AC и параллельные ему рёбра AA₁ и CC₁. Сечение ограничено отрезками AC, A₁C₁, AA₁ и CC₁. Противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны: AC параллелен A₁C₁, а AA₁ — CC₁, поэтому сечение является параллелограммом.

У прямоугольного параллелепипеда сначала рассмотрим диагональ основания: по теореме Пифагора её квадрат равен a² + b². Теперь пространственная диагональ вместе с этой диагональю основания и ребром c образует прямоугольный треугольник. Ещё одно применение теоремы Пифагора даёт d² = (a² + b²) + c², то есть d = √(a² + b² + c²). Прямые углы здесь необходимы, поэтому для произвольного параллелепипеда формула не подходит.

Элементы и свойства параллелепипеда

В таблице удобно сначала определить, к какому виду относится фигура: свойства прямоугольного параллелепипеда включают свойства общего параллелепипеда, но дополнены прямыми углами. Для вычисления диагонали проверь, что все грани действительно прямоугольники, и только потом используй формулу через три измерения.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде ABCD–A₁B₁C₁D₁ укажи пару противоположных граней, пару боковых рёбер и диагональ, не лежащую ни в одной грани. Рассуждать удобнее по обозначениям: основания записаны в одном порядке, а индекс 1 отмечает соответствующие вершины второго основания.

1. Грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ являются основаниями, лежат в параллельных плоскостях и расположены напротив друг друга.
2. Рёбра AA₁ и BB₁ соединяют соответствующие вершины оснований, значит, это боковые рёбра. Они параллельны и равны.
3. Отрезок AC — диагональ основания, поэтому он лежит в грани ABCD. Отрезок AC₁ соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, и является пространственной диагональю.

Ответ: противоположные грани ABCD и A₁B₁C₁D₁; боковые рёбра AA₁ и BB₁; диагональ параллелепипеда AC₁.

Задача 2. Диагональ основания параллелепипеда равна 5 см, боковое ребро — 3 см, а угол между ними в диагональном сечении — 60°. Найди вторую диагональ этого сечения. Сечение является параллелограммом, а его соседние стороны имеют длины 5 и 3 см; угол между ними равен 60°.

1. Искомая диагональ параллелограмма соединяет концы этих двух сторон. Выделим треугольник, образованный соседними сторонами и этой диагональю.
2. По теореме косинусов квадрат диагонали равен 5² + 3² − 2 · 5 · 3 · cos 60°.
3. Подставим cos 60° = ½: d² = 25 + 9 − 15 = 19. Так как длина положительна, d = √19 см.

Ответ: √19 см.

Задача 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найди пространственную диагональ и определи, на сколько она изменится, если третье измерение увеличить на 1 см. Сначала найдём диагональ до изменения, затем повторим расчёт с новым измерением.

1. Используем формулу d = √(a² + b² + c²): d = √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13 см.
2. После увеличения третье измерение равно 13 см. Новая диагональ d₁ = √(3² + 4² + 13²) = √194 см.
3. Изменение длины — d₁ − d = √194 − 13 см, приблизительно 0,93 см. Диагональ увеличилась, поскольку при неизменных остальных измерениях увеличение одного ребра увеличивает сумму квадратов.

Ответ: исходная диагональ — 13 см; она увеличится на √194 − 13 см, приблизительно на 0,93 см.

Типичные ошибки

Путать диагональ параллелепипеда с диагональю грани. Ошибка возникает из-за того, что оба отрезка соединяют вершины. Проверь, принадлежат ли эти вершины одной грани: если да, это диагональ грани, если нет — пространственная диагональ.

Считать параллельными любые две грани. Грани могут соприкасаться по ребру, поэтому такое утверждение неверно. Параллельны только противоположные грани; проверка проста — они не имеют общих точек и находятся в параллельных плоскостях.

Называть любой параллелепипед прямоугольным. Его грани могут быть наклонными параллелограммами, а не прямоугольниками. Перед использованием свойств прямоугольного параллелепипеда проверь форму всех граней: в каждой должны быть прямые углы.

Применять формулу пространственной диагонали к произвольному параллелепипеду. Формула d = √(a² + b² + c²) выводится из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников. Если рёбра не образуют прямых углов, такого основания нет; проверь условие задачи и не делай вывод о прямоугольности только по наличию трёх измерений.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в параллелепипеде, нужно знать определение призмы и свойства параллелограмма, а также понимать, как соотносятся параллельные прямые и плоскости. Они объясняют устройство граней и взаимное расположение элементов. При вычислениях диагоналей пригодятся теоремы Пифагора и косинусов. Позже свойства параллелепипеда будут использоваться при изучении многогранников и объёмов: они помогают описывать форму тела и находить его размеры.

Что запомнить

• Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом.
• У параллелепипеда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• Диагональное сечение параллелепипеда — параллелограмм.
• У прямоугольного параллелепипеда квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений.