22.1. Общие свойства призм

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Эти два многоугольника называют основаниями, а остальные грани — боковыми. Такое определение позволяет узнать призму по устройству её граней, а не по тому, как она нарисована.

Основания призмы — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях; их соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Соответствующими называют вершины, которые переходят друг в друга при параллельном переносе одного основания к другому. Это понятие помогает определить, какие рёбра и стороны оснований связаны между собой.

Боковое ребро призмы — отрезок, соединяющий соответствующие вершины оснований; все боковые рёбра параллельны и равны. Если основание — n-угольник, то боковых рёбер ровно n: по одному от каждой вершины основания. Это важно для подсчёта рёбер и определения вида призмы.

Высота призмы — расстояние между плоскостями её оснований; у прямой призмы она равна боковому ребру. Расстояние измеряют по перпендикуляру к плоскостям, а не вдоль произвольного отрезка между ними. Поэтому у наклонной призмы высота и боковое ребро обычно имеют разные длины.

Как это устроено

Представим многоугольник и перенесём его параллельно самому себе в другое положение. При переносе каждая вершина смещается на один и тот же вектор, то есть на равный и параллельный остальным отрезок. Соединим соответствующие вершины исходного и перенесённого многоугольников: получим боковые рёбра, а каждая пара соответствующих сторон вместе с этими рёбрами образует параллелограмм. Так возникает призма, у которой основания равны и параллельны.

Равенство оснований следует из свойств переноса: он не меняет длины отрезков и величины углов, поэтому многоугольники совпадают по форме и размеру. Плоскости оснований параллельны, так как перенос перемещает плоскость параллельно самой себе. Все боковые рёбра равны, поскольку являются перемещениями на один и тот же вектор, и параллельны по той же причине. Значит, перечисленные свойства связаны не с видом основания, а с самим способом построения призмы.

В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому каждое боковое ребро перпендикулярно сторонам основания, которые лежат в боковых гранях, и эти грани оказываются прямоугольниками. Если рёбра не перпендикулярны основаниям, призма наклонная: её боковые грани остаются параллелограммами, но углы у них не обязаны быть прямыми. Так различают призмы по наклону боковых рёбер, а не по форме основания.

У n-угольной призмы по n вершин в каждом основании, всего 2n вершин. В каждом основании n рёбер, значит, рёбер оснований вместе 2n; ещё n рёбер боковые, всего 3n. Боковых граней столько же, сколько сторон основания, то есть n, и к ним добавляются два основания: получается n + 2 грани. Подсчёт зависит только от числа сторон основания, поэтому подходит для выпуклых призм с любым многоугольником в основании.

Основные свойства n-угольной призмы

В таблице n обозначает число сторон многоугольника в основании. Чтобы найти количество элементов, сначала определите n, затем подставьте его в нужную формулу. При поиске высоты уточните, прямая призма или наклонная: длина бокового ребра совпадает с высотой только в первом случае.

Разбор задач

Задача 1. Число элементов пятиугольной призмы

У призмы основания — параллельные равные пятиугольники. Требуется определить число вершин, рёбер и граней. Пятиугольник имеет пять сторон, поэтому в формулах для n-угольной призмы берём n = 5.

1. Вершин: 2n = 2 · 5 = 10.
2. Рёбер: 3n = 3 · 5 = 15. Из них пять боковых, остальные десять принадлежат основаниям.
3. Граней: n + 2 = 5 + 2 = 7.

Ответ: 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней. Перед вычислениями полезно определить n по основанию, а затем не путать число всех рёбер с числом только боковых.

Задача 2. Высота прямой призмы

Боковое ребро прямой призмы равно 7 см. Нужно найти расстояние между плоскостями оснований, то есть высоту. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям и отрезок ребра проходит от одной плоскости до другой по перпендикуляру.

1. Записываем свойство прямой призмы: h = l, где h — высота, l — длина бокового ребра.
2. Подставляем значение: h = 7 см.
3. Проверяем единицы измерения: высота, как и ребро, измеряется в сантиметрах.

Ответ: 7 см. Здесь равенство высоты и ребра обусловлено прямым углом; для наклонной призмы таким рассуждением пользоваться нельзя.

Задача 3. Высота наклонной призмы

Боковое ребро наклонной призмы равно 10 см, а угол между ним и плоскостью основания — 30°. Требуется найти высоту. Ребро и его проекция на плоскость образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро — гипотенуза, а высота — перпендикулярный катет.

1. Для угла между прямой и плоскостью высота составляет противолежащий катет, поэтому sin α = h / l.
2. Выражаем высоту: h = l · sin α.
3. Подставляем данные: h = 10 · sin 30° = 10 · ½ = 5 см.

Ответ: 5 см. Результат меньше длины бокового ребра, как и должно быть у наклонного отрезка: его перпендикулярная составляющая не может быть длиннее всего отрезка.

Типичные ошибки

Ошибка — считать боковые грани любой призмы прямоугольниками. Так бывает только у прямой призмы, а для наклонной достаточно того, что грани являются параллелограммами. Путаница возникает потому, что на схематичном рисунке параллелограмм может выглядеть как прямоугольник. Проверьте условие: лишь перпендикулярность боковых рёбер основаниям гарантирует прямые углы.

Ошибка — приравнивать высоту к боковому ребру наклонной призмы. Высота измеряется перпендикулярно между плоскостями оснований, тогда как боковое ребро может идти под углом. Чтобы себя проверить, мысленно или на чертеже опустите перпендикуляр к основанию: именно его длина будет высотой. Если дан угол α и ребро l, можно проверить вычисление формулой h = l · sin α.

Ошибка — называть число боковых рёбер числом всех рёбер. У n-угольной призмы боковых рёбер n, но к ним нужно прибавить по n рёбер в каждом из двух оснований: всего получается 3n. Ошибка возникает, когда при подсчёте учитывают только соединения оснований. Сверьте отдельно рёбра двух оснований и боковые рёбра, не добавляя ни одного из них дважды.

Ошибка — выбирать основаниями любые две грани призмы. Основаниями являются именно равные многоугольники в параллельных плоскостях; остальные грани составляют боковую поверхность. На рисунке некоторые боковые грани могут казаться параллельными, но это не делает их основаниями. Проверьте одновременно форму граней, их равенство и параллельность плоскостей.

Связь с другими темами

Для работы с призмами нужны понятия многогранника и многоугольника, а также умение распознавать параллельные плоскости и находить расстояние от точки до плоскости. Эти знания позволяют отличать боковое ребро от высоты и устанавливать, какая грань является основанием. Свойства призм пригодятся при изучении прямых и правильных призм, а затем — при вычислении площадей поверхности и объёмов многогранников. Подсчёт элементов можно проверить по формуле Эйлера V − E + F = 2, где V — число вершин, E — рёбер, F — граней.

Что запомнить

• Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• Все боковые рёбра призмы параллельны и равны.
• У прямой призмы боковые грани — прямоугольники.
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.
• У n-угольной призмы 2n вершин, 3n рёбер и n + 2 грани.