§ 22. Призмы

Определения и обозначения

Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами. Эти многоугольники называют основаниями, а остальные грани — боковыми. Вершины оснований соответствуют друг другу в одном и том же порядке, а соединяющие их отрезки являются боковыми рёбрами. Такое соответствие помогает не перепутать элементы призмы при решении задач.

Основания призмы — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Их соответствующие стороны равны и параллельны, а вершины соединены боковыми рёбрами. Остальные грани называют боковыми. Основания нужны, чтобы задавать форму призмы и вычислять её высоту, площадь и объём.

Боковая поверхность призмы — совокупность её боковых граней, а полная поверхность состоит из боковой поверхности и двух оснований. Площадь поверхности получают сложением площадей составляющих её граней. Это различие важно, когда в задаче спрашивают только площадь боковой поверхности или всю поверхность многогранника.

Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основаниям. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, то есть многоугольник с равными сторонами и углами. Эти определения позволяют сразу определить форму боковых граней и выбрать подходящие формулы.

Как это устроено

Представить призму можно как результат параллельного переноса многоугольника: его вершины перемещают на одинаковые расстояния в одном направлении. Соответствующие вершины исходного и перенесённого многоугольников соединяются равными параллельными отрезками. Эти отрезки и есть боковые рёбра. Такой способ построения объясняет, почему основания призмы равны и имеют одинаковое расположение сторон.

Каждая боковая грань образована стороной одного основания, соответствующей стороной другого и двумя боковыми рёбрами. Стороны оснований параллельны и равны, поскольку основания связаны переносом, а боковые рёбра также параллельны и равны. Значит, у бокового четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны — это признак параллелограмма. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому боковые грани оказываются прямоугольниками.

Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований, то есть длина перпендикуляра, проведённого от одной плоскости к другой. У прямой призмы боковое ребро уже перпендикулярно основаниям, поэтому совпадает с высотой. У наклонной призмы ребро идёт под углом к основанию: его длина не равна высоте. Различие важно учитывать при вычислениях, чтобы не подставить в формулу длину ребра вместо перпендикулярного расстояния.

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники. Если периметр основания равен Pосн, то сумма длин их оснований по периметру составляет Pосн, а высота каждого прямоугольника равна h. Складывая площади прямоугольников, получаем формулу Sбок = Pосн·h. Для наклонной призмы эта формула в общем случае неприменима: её боковые грани не прямоугольники, а высоты этих параллелограммов не совпадают с высотой призмы.

Диагональ призмы соединяет вершины, не лежащие на одной грани. Чтобы найти её длину, часто удобно рассмотреть прямоугольный треугольник, где один катет — высота призмы, а другой — диагональ основания. Эти отрезки перпендикулярны, потому что высота перпендикулярна плоскости основания. По теореме Пифагора диагональ равна √(dосн² + h²), где dосн — подходящая диагональ основания; сначала нужно убедиться, что рассматриваемые вершины образуют именно такой треугольник.

Виды призм и их основные элементы

Сначала определите по расположению рёбер, прямая призма перед вами или наклонная, а затем выбирайте формулу площади. Если призма прямая и её основание правильное, она правильная. Помните, что правильность основания сама по себе ещё не делает призму правильной: боковые рёбра тоже должны быть перпендикулярны основаниям.

Разбор задач

Задача 1. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см, высота призмы равна 8 см. Найдём площадь боковой поверхности. Нужно учесть, что боковая площадь прямой призмы зависит от периметра основания и высоты, а не от площади треугольника.

1. Вычислим периметр основания: Pосн = 3 + 4 + 5 = 12 см.
2. Применим формулу прямой призмы: Sбок = Pосн·h = 12·8 = 96 см².

Ответ: 96 см². Размерность площади — квадратные сантиметры, что служит дополнительной проверкой результата.

Задача 2. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 6 и 8 см, высота призмы равна 5 см. Найдём диагональ призмы. Диагональ основания вместе с высотой образует прямоугольный треугольник с искомой диагональю призмы в качестве гипотенузы.

1. Найдём диагональ прямоугольника по теореме Пифагора: dосн = √(6² + 8²) = √100 = 10 см.
2. Используем высоту 5 см как второй катет: d = √(10² + 5²) = √125 = 5√5 см.

Ответ: 5√5 см. Перед вычислениями важно проверить, что выбранная пространственная диагональ действительно соединяет вершины, не лежащие на одной грани.

Задача 3. Правильная шестиугольная призма имеет высоту 12 см и боковую площадь 360 см². Найдём сторону основания и площадь полной поверхности. Правильный шестиугольник имеет шесть равных сторон, поэтому после нахождения периметра можно определить длину одной стороны.

1. Из Sбок = Pосн·h получаем Pосн = 360 : 12 = 30 см.
2. Сторона основания a = 30 : 6 = 5 см.
3. Площадь правильного шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников: Sосн = 6·(√3·a² : 4) = 3√3·a² : 2 = 37,5√3 см².
4. Добавим два основания: Sполн = 360 + 2·37,5√3 = 360 + 75√3 см².

Ответ: сторона основания — 5 см, площадь полной поверхности — 360 + 75√3 см².

Типичные ошибки

Называть высотой призмы боковое ребро всегда — ошибка: ребро равно высоте лишь у прямой призмы. Это заблуждение возникает потому, что на рисунке ребро часто выглядит вертикальным. Проверьте условие: высота обязана быть перпендикулярна обеим плоскостям оснований, а не просто соединять их.

Считать любую призму прямой нельзя: у наклонной призмы боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Ошибка может возникнуть, если ориентироваться только на внешнюю форму чертежа, который не всегда изображён в масштабе. Проверяйте именно условие перпендикулярности, а не то, как отрезки выглядят на рисунке.

Формулу Sбок = Pосн·h не следует применять к наклонной призме в общем случае. Её вывод основан на сложении площадей прямоугольных граней, которые есть у прямой призмы. Перед подстановкой величин убедитесь, что боковые рёбра перпендикулярны основанию; иначе нужно отдельно находить площади боковых параллелограммов.

Диагональ призмы путают с диагональю боковой грани или основания. Причина в том, что все эти отрезки соединяют вершины многогранника, но только диагональ призмы проходит внутри и связывает вершины, не лежащие на одной грани. Чтобы проверить себя, назовите грань, содержащую обе вершины отрезка: если такая грань есть, это диагональ грани, а не призмы.

Связь с другими темами

Для изучения призм нужны знания о многоугольниках, их периметрах и площадях: без них нельзя вычислить площадь оснований и боковую площадь. Также важно понимать параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, а ещё уметь находить расстояние между параллельными плоскостями. Именно это расстояние определяет высоту призмы.

Знание элементов и свойств призм пригодится при изучении площадей поверхностей и объёмов многогранников. Теорема Пифагора помогает находить диагонали и расстояния в стереометрических задачах, а перпендикулярность используется при вычислении углов и длин отрезков. Поэтому важно не смешивать боковое ребро, высоту и диагональ.

Что запомнить

• Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.
• В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте.
• Правильная призма является прямой, а её основание — правильный многоугольник.
• Для прямой призмы Sбок = Pосн·h.